Mesure, Intégration, Fourier : Cours Universitaire

Mesure, Intégration, Fourier
Benjamin Charlier, Philippe Castillon
19 septembre 2024

Table des matières
1 Quelques Rappels et Motivations 7
1.1 Rudiments de théorie des ensembles ............................. 7
1.1.1 Opérations sur P(X)................................... 7
1.1.2 Images directes et réciproques .............................. 8
1.1.3 Dénombrabilité ...................................... 8
1.2 L’ordre sur R........................................... 9
1.2.1 La droite réelle achevée .................................. 9
1.2.2 Limites inférieures et limites supérieures ......................... 10
1.3 Les familles sommables et critère de Bertrand ........................ 10
1.4 Motivations ............................................ 12
1.4.1 En géométrie ....................................... 12
1.4.2 En analyse ......................................... 13
1.4.3 En probabilité ....................................... 13
1.5 Exercices ............................................. 13
1.5.1 Rappels .......................................... 13
1.5.2 Pour s’entrainer, pour aller plus loin ........................... 15
2 Théorie générale de la mesure 17
2.1 Espaces mesurables ....................................... 17
2.1.1 Tribu, tribu engendrée ................................... 17
2.1.2 Les boréliens ........................................ 18
2.2 Applications mesurables ..................................... 20
2.2.1 Définition ......................................... 20
2.2.2 Propriétés ......................................... 22
2.3 Espaces mesurés ......................................... 24
2.3.1 Mesure positive ...................................... 24
2.3.2 Propriétés ......................................... 25
2.4 Exemples de mesures ...................................... 28
2.4.1 Mesure image ....................................... 28
2.4.2 Mesure de Lebesgue .................................... 28
2.5 Espaces de probabilité ...................................... 29
2.6 Le “presque partout” ...................................... 30
2.6.1 Ensembles négligeables .................................. 30
2.6.2 Ensemble de Cantor .................................... 31
2.7 Exercices ............................................. 32
2.7.1 Espaces mesurables, Applications mesurables ...................... 32
2.7.2 Mesures .......................................... 33
2.7.3 Pour s’entrainer, pour aller plus loin ........................... 34
3 Théorie générale de l’intégration 37
3.1 Fonctions étagées ........................................ 37
3.1.1 Définition et propriétés .................................. 37
3.1.2 Intégrale des fonctions étagées .............................. 38
3.2 Intégrale des fonctions positives ................................ 40
3.2.1 Définition ......................................... 40
3.2.2 Propriétés ......................................... 41
3.2.3 Théorème de convergence monotone ........................... 42
3.2.4 Propriétés et lemme de Fatou ............................... 43
2

TABLE DES MATIÈRES 3
3.3 Intégrales des fonctions réelles et complexes ........................ 45
3.3.1 Définitions ......................................... 45
3.3.2 Théorème de convergence dominée ............................ 47
3.4 Intégrales dépendant d’un paramètre ............................. 50
3.4.1 Continuité ......................................... 50
3.4.2 Dérivabilité ........................................ 50
3.5 Exercices ............................................. 52
3.5.1 Intégrale par rapport à une mesure ............................ 52
3.5.2 Théorèmes limites ..................................... 53
3.5.3 Intégrales à paramètres .................................. 53
3.5.4 Pour s’entrainer, pour aller plus loin ........................... 54
4 Intégration pour quelques mesures particulières 55
4.1 Mesure de Dirac et mesure de comptage sur N....................... 55
4.1.1 Mesure de Dirac ...................................... 55
4.1.2 Mesure de comptage sur N................................ 56
4.2 Riemann vs. Lebesgue ...................................... 57
4.2.1 Sur un segment ...................................... 57
4.2.2 Le cas des intégrales impropres .............................. 58
4.3 Le théorème de transfert .................................... 60
4.3.1 Intégration et mesure image ............................... 60
4.3.2 Un peu de probabilités .................................. 61
4.4 Intégration sur les espaces produits .............................. 62
4.4.1 Tribu et mesure produit .................................. 62
4.4.2 Théorèmes de Tonelli et Fubini .............................. 67
4.5 Un exemple à connaître : la fonction Γ............................ 69
4.6 Exercices ............................................. 71
4.6.1 Intégration et mesure produit ............................... 71
4.6.2 En probabilité ....................................... 72
4.6.3 Intégrales à paramètre ................................... 72
4.6.4 Pour s’entrainer, pour aller plus loin ........................... 73
5 Les espaces Lpet la mesure de Lebesgue sur Rn75
5.1 Espaces Lpet Lp........................................ 75
5.1.1 Les semi-normes ∥·∥p................................... 75
5.1.2 Les espaces Lp...................................... 78
5.2 La mesure de Lebesgue sur Rn................................ 83
5.2.1 Invariance par translation ................................. 83
5.2.2 Changement de variable affine .............................. 83
5.2.3 Changement de variable .................................. 84
5.3 Produit de convolution et théorèmes de densité ....................... 88
5.3.1 Densité des fonctions continues à support compact ................... 88
5.3.2 Le produit de convolution ................................. 91
5.3.3 Densité des fonctions C∞à support compact ...................... 94
5.4 Exercices ............................................. 98
5.4.1 Espaces Lp........................................ 98
5.4.2 Mesure de Lebesgue sur Rn................................ 98
5.4.3 Convolution ........................................ 99
5.4.4 Pour s’entrainer, pour aller plus loin ........................... 99
6 Analyse de Fourier sur R103
6.1 Définition et propriétés ..................................... 103
6.1.1 Transformée de Fourier et dérivation ........................... 105
6.1.2 Produit de convolution et formule d’inversion ...................... 107
6.2 Le cadre fonctionnel ....................................... 109
6.2.1 Espace de Schwartz .................................... 109
6.2.2 Transformée de Fourier L2................................ 110
6.3 Exercices ............................................. 111
6.3.1 Transformée de Fourier dans R.............................. 111

4TABLE DES MATIÈRES
6.3.2 Pour s’entrainer, pour aller plus loin ........................... 112
7 Existence et unicité de la mesure de Lebesgue 113
7.1 Mesures extérieures ....................................... 113
7.1.1 Existence de la mesure de Lebesgue ........................... 115
7.1.2 Complétion de mesure ................................... 117
7.2 Classes monotones ........................................ 118
7.2.1 Caractérisation de la mesure de Lebesgue et autres conséquences ............ 120

Avant Propos
Ce document a été initialement écrit par P. Castillon (Univ. Montpellier) et grandement inspiré du
polycopié [ 2 ] de T. Gallay (Univ. Grenoble). Ce sont ajoutées diverses sources au fil des rédactions : le
très complet livre [ 3 ] de T. Gallouët et R. Herbin, le plus avancé (et un peu daté) livre [ 4 ] de H.L. Royden,
les très rigoureuses (et duales) notes [1] de F. De Marçay/J. Merker (Univ. Paris Saclay).
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