Concours Mines-Télécom 2024 - Mathématiques I MP - Intégrale de Dirichlet

A2024 – MATH I MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2024
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l’épreuve : 3 heures
L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les
raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence
Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Généralisation d’une intégrale de Dirichlet et application
Le but de ce sujet est de calculer l’intégrale de Dirichlet généralisée
⁄+Œ
0
1≠1cos(t)22p+1
t2dt
et d’utiliser ce calcul pour évaluer une espérance.
Partie I : Calcul d’une intégrale
Dans tout ce qui suit, xest un élément de ]0; 1[ fixé.
1ÛMontrer que pour tout ◊œ]≠fi;fi[, la fonction fdéfinie par
f: ]0 ; +Œ[≠æ C
t‘≠æ tx≠1
1+tei◊
est définie et intégrable sur ]0; +Œ[.
Soit rla fonction définie par
r:]≠fi;fi[≠æ C
◊‘≠æ ⁄+Œ
0
tx≠1
1+tei◊dt.
2ÛMontrer que la fonction rest de classe C1sur ]≠fi;fi[et que :
’◊œ]≠fi;fi[,r
Õ(◊)=≠iei◊⁄+Œ
0
tx
(1 + tei◊)2dt.
Indication : soit —œ]0; fi[, montrer que pour tout ◊œ[≠—;—]et tœ[0,+Œ[,
|1+tei◊|2Ø|1+tei—|2=(t+cos(—))2+ (sin(—))2.
Soit gla fonction définie par
g:]≠fi;fi[≠æ C
◊‘≠æ eix◊⁄+Œ
0
tx≠1
1+tei◊dt.
1

3ÛMontrer que la fonction gest de classe C1sur ]≠fi;fi[et que pour tout ◊œ]≠fi;fi[,
gÕ(◊)=ieix◊⁄+Œ
0hÕ(t)dt,
où hest la fonction définie par
h: ]0; +Œ[≠æ C
t‘≠æ tx
1+tei◊·
Calculer h(0) et
lim
tæ+Œh(t).
En déduire que la fonction gest constante sur ]≠fi;fi[.
4ÛMontrer que pour tout ◊œ]0; fi[,
g(◊) sin(x◊)= 1
2i1g(≠◊)eix◊≠g(◊)e≠ix◊2= sin(◊)⁄+Œ
0
tx
t2+2tcos(◊)+1 dt.
5ÛEn déduire que :
’◊œ]0; fi[,g(◊) sin(◊x)=⁄+Œ
cotan(◊)1usin(◊)≠cos(◊)2x
1+u2du,
où cotan(◊)=cos(◊)
sin(◊).
6ÛMontrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que :
lim
◊æfi≠g(◊) sin(x◊)=⁄+Œ
≠Œ
du
1+u2·
7ÛEn déduire que
⁄+Œ
0
tx≠1
1+tdt=fi sin(fix)·
Partie II : Une expression (utile) de la fonction sinus
On rappelle que xest un élément de ]0; 1[ fixé.
8ÛMontrer que
⁄+Œ
0
tx≠1
1+tdt=⁄1
03tx≠1
1+t+t≠x 1+t4dt.
2

9ÛMontrer que :
⁄1
0
tx≠1
1+tdt=
+Œ
ÿ
k=0
(≠1)k
k+x·
10 ÛÉtablir l’identité
⁄+Œ
0
tx≠1
1+tdt=
+Œ
ÿ
n=0
(≠1)n
n+x+
+Œ
ÿ
n=0
(≠1)n
n+1≠x·
11 ÛEn déduire que l’on a
fi
sin(fix)=1 x≠
+Œ
ÿ
n=1
2(≠1)nx
n2≠x2·
12 ÛEn déduire enfin que :
’yœ]0 ; fi[,
+Œ
ÿ
n=1
2(≠1)nysin(y)
y2≠n2fi2=1≠sin(y) y·
Partie III : Calcul d’une intégrale de Dirichlet généralisée
13 ÛMontrer que l’intégrale
⁄+Œ
0
1≠1cos(t)22p+1
t2dt
converge et que :
⁄+Œ
0
1≠1cos(t)22p+1
t2dt=(2p+1)⁄+Œ
01cos(t)22psin(t)
tdt.
14 ÛMontrer que pour tout nœNú:
⁄fi
2+nfi
fi
2+(n≠1)fi1cos(t)22psin(t)
tdt=⁄fi
2
01cos(t)22p2(≠1)ntsin(t)
t2≠n2fi2dt.
15 ÛEn déduire que :
⁄+Œ
fi
21cos(t)22psin(t)
tdt=⁄fi
2
01cos(t)22p3+Œ
ÿ
n=1
2(≠1)ntsin(t)
t2≠n2fi24dt.
16 ÛEn déduire que :
⁄+Œ
01cos(t)22psin(t)
tdt=⁄fi
2
01cos(t)22pdt.
Dans le cas p=0, cette intégrale est communément appelée “Intégrale de Dirichlet”.
3

17 ÛMontrer que :
(cos(t))2p=1
22pQ
aA2p
pB+2
p≠1
ÿ
k=0 A2p
kBcos(2(p≠k)t)R
b.
Indication : On pourra développer 1eit +e≠it
222p.
18 ÛEn déduire que :
⁄+Œ
0
1≠1cos(t)22p+1
t2dt=fi 2
(2p+1)!
22p.(p!)2·
Partie IV : Calcul de E3|Sn|4
Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé (,A,P).
Soient (Xk)kœNúdes variables aléatoires indépendantes, de même loi donnée par :
P(X1=≠1) = P(X1=1)=1
2·
Pour tout nœNú, on note Sn=n
q
k=1
Xk.
19 ÛDéterminer, pour tout nœNú,E(Sn)et V(Sn).
Soient Set Tdeux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un nombre
fini de valeurs réelles. On suppose que Tet ≠Tsuivent la même loi.
20 ÛMontrer que :
E1cos(S+T)2=E1cos(S)2E1cos(T)2.
21 ÛEn déduire que pour tout nœNú, et pour tout tœR:
E1cos(tSn)2=1cos(t)2n.
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