MTH1102D Calcul II Devoir 9 - Flux de Champs Vectoriels

Polytechnique Montréal
Département de Mathématiques et de Génie
Industriel
MTH1102D - Calcul II
Automne 2025
Devoir 9
Nom : Lekem Nguemte Prénom : Nelson
Matricule : 2238142 Groupe : 1
Question Autres
corrigée questions Total
/10

2
Question 1
Soit Sla surface fermée formant la frontière de la région bornée par le paraboloïde
z= 25−5x2−5y2et le plan z= 0. On calcule le flux du champ vectoriel ⃗ F(x, y, z) =
yz⃗ i−xz ⃗ j+ (5 + z2)⃗ kà travers S.
1. Décomposition de la surface
La surface fermée Sest composée de deux parties :
S1:z= 25 −5x2−5y2, S2:z= 0, x2+y2≤5.
Le flux total est donc :
Φ =
S
⃗
F·d⃗ S=
S1
⃗
F·d⃗ S+
S2
⃗
F·d⃗ S.
2. Flux à travers le paraboloïde S1
a) Paramétrisation et vecteur normal On paramétrise S1en coordonnées po-
laires :
⃗
R(r, θ) = rcos θ⃗ i+rsin θ⃗ j+ (25 −5r2)⃗ k, 0≤r≤√5,0≤θ≤2π
(paramétrisation du paraboloïde en coordonnées polaires).
Les vecteurs tangents sont :
⃗
Rr=∂⃗
R
∂r = (cos θ, sin θ, −10r),⃗
Rθ=∂⃗
R
∂θ = (−rsin θ, r cos θ, 0).
Le vecteur normal est obtenu par le produit vectoriel :
⃗n =⃗ Rr×⃗ Rθ=
⃗
i⃗ j⃗ k
cos θsin θ−10r
−rsin θ r cos θ0
= (10r2cos θ)⃗ i+ (10r2sin θ)⃗ j+r⃗ k.

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(Le signe de la composante ⃗ kest positif, donc ⃗n pointe vers l’extérieur.)
b) Produit scalaire ⃗ F·⃗n On écrit ⃗ Fsur S1:
⃗
F= (yz)⃗ i+ (−xz)⃗ j+ (5 + z2)⃗ k.
Ainsi :
⃗
F·⃗n = (yz)(nx)
| {z }
P nx
+ (−xz)(ny)
| {z }
Qny
+ (5 + z2)(nz)
| {z }
Rnz
.
Termes P nxet Qny:
P nx= (rsin θ)(25 −5r2)(10r2cos θ), Qny= (−rcos θ)(25 −5r2)(10r2sin θ),
Ces deux termes sont opposés et s’annulent mutuellement (les termes en sin θcos θ
s’annulent par symétrie).
Terme Rnz:
Rnz= (5 + z2)r= [5 + (25 −5r2)2]r=r(25r4−250r2+ 630).
Ainsi :
⃗
F·⃗n = 25r5−250r3+ 630r.
c) Intégrale sur S1
Φ1=
S1
⃗
F·d⃗ S=
2π
0
√5
0
(25r5−250r3+ 630r)dr dθ.
Comme l’intégrande ne dépend pas de θ:
Φ1= 2π
√5
0
(25r5−250r3+ 630r)dr (intégrande indépendant de θ).

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Intégrons terme à terme :
(25r5−250r3+ 630r)dr =25r6
6−250r4 4+630r2 2.
En r=√5, on a r2= 5,r4= 25,r6= 125 :
Φ1= 2π 25(125)
6−250(25) 4+630(5) 2!.
Φ1= 2π3125 −9375 + 9450
6= 2π1600 3=3200π 3.
3. Flux à travers la base S2
La base S2est le disque x2+y2≤5dans le plan z= 0. Le vecteur normal sortant
est vers le bas :
⃗n =−⃗ k(orientation vers l’extérieur).
Sur S2, on a z= 0, donc
⃗
F(x, y, 0) = y(0)⃗ i−x(0)⃗ j+ (5 + 02)⃗ k= 5⃗ k.
Le produit scalaire est :
⃗
F·⃗n = (5⃗ k)·(−⃗ k) = −5.
Ainsi :
Φ2=
S2
⃗
F·d⃗ S=−5
R
dA =−5(π(√5)2) = −25π.
4. Flux total
Φtotal = Φ1+ Φ2=3200π
3−25π=3200π−75π 3=3125π 3.

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Question 2
Soit Hla partie de l’hyperboloïde d’équation x2+y2−z2= 1 située entre les plans
z=−2et z= 2. On considère le champ vectoriel ⃗ F(x, y, z) = 2y⃗ i+ 2x⃗ j+ 3z3⃗ k.
a) Montrer la paramétrisation de H
On propose la paramétrisation suivante :
⃗
R(u, v) = √1 + v2cos u⃗ i+√1 + v2sin u⃗ j+v⃗ k, 0≤u≤2π, −2≤v≤2.
On vérifie que cette paramétrisation satisfait bien l’équation de l’hyperboloïde :
x2+y2−z2= (√1 + v2cos u)2+ (√1 + v2sin u)2−v2.
En simplifiant :
x2+y2−z2= (1 + v2)(cos2u+ sin2u)−v2= 1.
(L’égalité cos2u+ sin2u= 1 justifie la simplification.) Ainsi, ⃗ R(u, v)décrit bien
la surface Hpour z=v∈[−2,2].
b) Calcul du flux du champ ⃗ Fà travers H
Le flux est donné par :
Φ =
H
⃗
F·d⃗ S=
2
v=−2
2π
u=0
⃗
F(⃗ R(u, v)) ·(⃗ Ru×⃗ Rv)du dv.
1. Calcul du vecteur normal ⃗ N=⃗ Ru×⃗ Rv
On détermine les dérivées partielles :
⃗
Ru=∂⃗
R
∂u = (−√1 + v2sin u)⃗
i+ (√1 + v2cos u)⃗ j+ 0⃗ k,