UE MAT 3136: Intégrales Multiples - Coordonnées Cylindriques & Sphériques

UY1- Faculté des Sciences-Département de Mathématiques
UE MAT 3136 : Techniques mathématiques pour la Physique - Feuille no4
1 Domaine d’intégration
1.1
1. Dans chacun des cas suivants, écrire l’équation correspondante en coordonnées cylindriques.
a)x2+y2= 16, b) (x−2)2+y2= 4, c)z=x2+y2, d)y= 2x
2. Dans chacun des cas suivants, écrire l’équation correspondante en coordonnées sphériques
a)x2+y2+z2= 9; b)y=x;c)z= 2; d)z=p3(x2+y2)
3. Le domaine Dest décrit en coordonnées sphériques. Représenter D, puis donner une équation
cartésienne correspondante : a)r= 2; b)φ=π
4;c)θ= 0
1.2
Décrire la domaine Dindiqué en utilisant les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
1. Dest le cylindre droit de hauteur 10, ayant pour base dans le plan xy le disque de rayon 3
centré à l’origine.
2. La boule limitée par la surface d’équation x2+y2+z2= 16
3. DDomaine limité par la surface d’équation z=px2+y2et situé en dessous du plan d’équation
z= 5
4. DDomaine limité par les surfaces d’équations x2+y2+z2= 25; z≥0et x2+y2+(z−5)2= 25
5. DDomaine situé entre les surfaces d’équations z=x2+y2et z= 9
2 Méthodes d’intégration
2.1
Dans chaque cas, écrire en utilisant les coordonnées cylindriques l’intégrale triple RRRDf(x, y, z)dV
sur le domaine D.
1. Dest le solide situé en-dessous de la surface z=px2+y2et au dessus de la surface d’équation
z=p8−x2−y2
2. Dest le solide situé au -dessus du plan xy et en-dessous de la surface z= 9 −x2−y2
3. Dest le solide situé au-dessus de la surface z=x2+y2, en dessous du plan z= 8 et entre les
surfaces x2+y2= 3 et x2+y2= 8
4. Dest le solide borné par les surfaces y= 4 −x2−z2et y= 0
5. Dest le solide borné par les surfaces x=y2+z2et x= 2 −y2−z2
6. Dest le domaine borné par les plans z= 2,z= 3 et la surface z=x2+y2
7. Dest le solide borné par l’hyperboloïde x2−y2−z2= 1; x > 0et le plan x= 4.
8. Dest le solide situé au-dessus de la surface z=e√x2+y2et en dessous du plan z= 2
1

3 Évaluation d’intégrales
3.1
Dans chaque cas calculer l’intégrale RRRDf(x, y, z)dV en utilisant les coordonnées cylindriques
1. f(x, y, z) = ex2+y2;Dest situé à l’intérieur de x2+y2= 4 et entre les plans d’équations z= 1
et z= 2.
2. f(x, y, z) = z;Dest situé entre les les surfaces d’équations z=px2+y2et z=p4−x2−y2
3. f(x, y, z) = ez;Dest situé au-dessus de la surface z=−p4−x2−y2, en-dessous du plan
xy et à l’extérieur de x2+y2= 3
4. f(x, y, z)=2x;Dest situé entre les surfaces d’équations z=px2+y2,z= 0 et à l’intérieur
de (x−2)2+y2= 4
5. f(x, y, z) = sin py2+z2;Dest borné par les surfaces x=py2+z2et x= 4
3.2
Dans chaque cas calculer l’intégrale RRRDf(x, y, z)dV en utilisant les coordonnées sphériques
1. f(x, y, z) = e(x2+y2)3
2;Ddomaine limité par l’hémisphère z=p4−x2−y2et le plan xy
2. f(x, y, z) = z2,Ddomaine situé à l’intérieur de la sphère x2+y2+z2= 2 et à l’extérieur de
x2+y2= 1
3. f(x, y, z) = x2+y2,Ddomaine borné par les surfaces d’équations z= 4 −x2−y2et le plan xy
4. f(x, y, z) = px2+y2+z2,Ddomaine borné par les surfaces d’équations z=px2+y2et
z=p2−x2−y2
5. f(x, y, z)=1,Ddomaine situé en dessous de la surface d’équation x2+y2+z2= 4zet au-dessus
de z=px2+y2
3.3
Calculer les intégrales données après avoir précisé le bon ordre d’intégration et changé le système
de coordonnées
1.
Z1
−1Z√1−x2 −√1−x2Z√x2+y2 0
3z2dxdydz;Z1
0Z√1−x2 −√1−x2Z2−x2
−y2
0px2+y2dxdydz
2.
Z3
−3Z0 −√9−x2Zx2+z2 0
(x2+z2)dxdydz
3.4
Calculer les intégrales données après avoir précisé le bon ordre d’intégration et changé le système
de coordonnées
1.
Z1
0Z√1−x2 −√1−x2Z√1−x2−y2 −√1−x2−y2px2+y2+z2dxdydz;Z2 −2Z√4−x2 0Z8−x2
−y2
√x2+y2x2+y2+z23
2dxdydz
2.
Z2
−2Z√4−x2 0Z0 −√4−x2−y2
e√x2+y2+z2dxdydz;Zπ
0Z2 0Z√4−r2 0
√x2+r2drdθdz
2