TD Algèbre 3: Formes linéaires, Dualité, Produit scalaire

TD 1: Formes linéaires - Dualité
Algèbre 3
CPI2
2025-2026
Produit scalaire
Exercice 1 Soient aun vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel E,kun réel et φ∶E×E→R
l’application déterminée par:
φ(x, y)=x, y+kx, ay, a
Donner une condtion nécessaire et suffisante pour que φsoit un produit scalaire.
Exercice 2 Soit E=C([0,1],R). Pour f, g ∈E, on pose
φ(f, g)=1
0
f′(t)g′(t)dt +f(1)g(0)+f(0)g(1)
Montrer que φdéfinit un produit scalaire sur E.
Calcul dans un espace préhilbertien
Exercice 3 Démontrer que la boule unité fermée Bd’un espace préhilbertien est strictement convexe
i.e.que pour tout x, y ∈Bdifférents et tout t∈]0,1[,(1−t)x+ty <1.
Exercice 4 On muni E=C([a, b],R)du produit scalaire définit par
f, g=b
a
f(t)g(t)dt
Montrer que l’orthogonal de l’espace des fonctions polynômiales de Eest réduit à zéro. Déduire que pour
un sous espace Fde E, l’égalité F=F⊥⊥ n’est pas toujours vraie.
Exercice 5 Soit Fun sous espace vectoriel, de diemnsion finie, d’un espace préhilbertien. Montrer que
F=F⊥⊥.
Exercice 6 On muni E=C([a, b],R)du produit scalaire définit par
f, g=b
a
f(t)g(t)dt
Pour f∈E, on note Fla primitive de fqui s’annule en 0. On considère l’endomorphisme vde E
déterminée par v(f)=F.
1. Déterminer un endomorphisme v∗de Everifiant
∀f, g ∈Ev(f), g=f, v∗(g)
2. Déterminer les valeurs propres de v∗◦v.
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Procédé d’orthonormalisation de Gram-Shmidt
Exercice 7 Déterminer, dans les cas suivant, une base orthonormale des sous espaces Fconsidérés:
1. E=R3muni de sa structure euclidienne, F=V ect(u, v, w)avec u=(1,0,1), v =(1,1,1), w =
(−1,−1,0).
2. E=R4muni de sa structure euclidienne, F={(x, y, z, t)∈R4x+z+t=0, x −y+z=0}.
3. E=R[X], muni du produit scalaire P, Q=∫1
−1P(t)Q(t)dt,F=R2[X].
Exercice 8 E=Rn[X]. On définit pour P, Q ∈E
P, Q=
n
k=0
P(k)(a)Q(k)(a)
(k!)2
Montrer que ., .définit un produit scalaire sur E, et sans calcul, déterminer une base orthonormale de
Rn[X]pour tout n∈N.
Exercice 9 Soit (E, ., .) un espace préhilbertien, et (e1, ..., en)une famille de nvecteurs de Ede norme
1, tels que pour tout x∈E:
x2=
n
i=1
x, ei2
Polynômes orthogonaux
Exercice 10 On muni R[X]du produit scalaire:
P, Q=1
−1
P(t)Q(t)dt
1. Etablir l’existence et l’unicité d’une suite de polynôme (Pn)formée de polynôme deux à deux or-
thogonaux avec chaque (Pn)de degré net de coefficient dominant 1.
2. Etudier la parité des polynômes Pn.
3. Prouver que pour chaque n≥1, les polynômes Pn+1−XPnest orthogonale à Rn−2[X]
4. En déduire qu’il existe λn∈Rtel que
Pn+1=XPn+λnPn−1
Exercice 11 (Polynômes de Legendre) Pour n∈N, on définit
Qn(X)=
1
2nn!((X2−1)n)(n)
1. Soit n≥1. Montrer que Qnpossède nracines simples dans ]−1,1[.
2. Montrer que pour tout n≥1, il existe Rn∈R[X]tel que
Qn=Xn+(X2−1)Rn
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3. On pose, pour P, Q ∈R[X]
P, Q=1
−1
P Q
Montrer que Qnest orthogonal à Rn−1[X].
4. Calculer Qn2.
Exercice 12 Soit n∈N∗,E=Rn[X]. On définit pour tout P, Q ∈E
P, Q=∞
0
P(t)Q(t)e−tdt
1. Justifier que la définition de ., .est un produit scalaire sur E.
On cherche à déterminet d(1, F )∶infP∈F1−P, où F∶={P∈EP(0)=0}. Soit (P0, P1, ..., Pn)
l’orthonormalisée de Shmidt de (1, ..., Xn).
2. Calculer Pk(0)2.
3. Déterminer une base de F⊥que l’on exprimera dans la base (P0, ..., Pn).
4. Déduire d(1, F ⊥)et d(1, F ).
Projection orthogonale - Problèmes de minimisation
Exercice 13 Dans R4muni de sa structure euclidienne canonique, on note
F={(x, y, z, t) x+y+t=0, x +y+2z−t=0}
Déterminer le projeté orthogonal du vecteur (1,8,1,1)sur F.
Exercice 14 Soit E=R3muni de sa structure euclidienne canonique. Soit p∈L(E)dont la matrice
dans la base canonique est
A=
1
6
5−2 1
−222
1 2 5
Montrer que pest un projecteur orthogonal sur un plan dont on précisera l’équation. Déterminer la
distance de (1,1,1)à ce plan.
Exercice 15 On pose E=C([0,1],R). On définit, pour f, g ∈E
f, g=1
0
f(t)g(t)dt +1
0
f′(t)g′(t)dt
1. Montrer que ., .définit un produit scalaire sur E.
2. On pose
V∶={f∈Ef(0)=f(1)=0,}
W∶={f∈Efest C2et f′′ =f}
Montrer que Vet Wsont supplémentaires et orthogonales dans E.
3. Soient α, β ∈R, et
Eα,β ∶={f∈Ef(0)=α, f(1)=β}
Calculer inff∈Eα,β ∫1
0(f(t)2+f′(t)2)dt
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Exercice 16 On considère, sur R[X], le produit scalaire
P, Q=∞
0
P(t)Q(t)e−tdt
1. Calculer Xp, Xqpour p, q ∈N.
2. Déterminer
inf
a,b∈R∞
0
e−t[t2−(at +b)]2dt
Exercice 17 Calculer
inf{1
0
t2[ln(t)−at −b]2,(a, b)∈R2}
Mn(R)comme espace préhilbertien
Exercice 18 Comparer les sous espace vectoriels suivants:
1. ker(A)et ker(tAA).
2. Im(A)et Im(AtA).
Exercice 19 On muni Rnde sa structure euclidienne. Soit A∈Mn(R).
1. Montrer que Im(tA)=ker(A)⊥.
2. On suppose que A2=0.
(a) Montrer que ker(A+tA)=ker(A)+ker(tA).
(b) Déduire que (A+tA)∈GLn(R)⟺ker(A)=Im(A).
Exercice 20 1. Soit A∈Mn(R)vérifiant
∀X∈RnAX≤X
où .désigne la norme euclidienne sur Rn.
2. Établir que
∀X∈RntAX≤X
3. Soit X∈Rn. Montrer que si AX =X, alors tAX =X.
4. Montrer que
Rn=ker(A−In)⊕Im(A−In)
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