Fonctions de Plusieurs Variables : Limites et Continuité - EDGAP Academy

Fonctions de Plusieurs Variables
Limites et Continuité
EDGAP academy
2025/2026
Table des matières
1 Introduction et Notations 2
1.1 Notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Fonctions de Plusieurs Variables 2
3 Limites de Fonctions de Plusieurs Variables 2
3.1 Définitiongénérale ............................... 2
3.2 Propriétésdeslimites.............................. 3
3.3 Critère de non-existence d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.4 Limitesitérées.................................. 4
4 Continuité 5
4.1 Définitions.................................... 5
4.2 Propriétés de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Théorèmes importants 7
5.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 Théorèmedesbornes.............................. 8
6 Exercices complémentaires 8
1

1 Introduction et Notations
Dans ce chapitre, nous étendons les concepts de limites et de continuité, familiers
dans le cas des fonctions d’une variable réelle, aux fonctions de plusieurs variables. Cette
généralisation est fondamentale pour l’étude du calcul différentiel et intégral dans Rn.
1.1 Notations et conventions
—Rndésigne l’espace euclidien de dimension n
— Un point de Rnest noté x= (x1, x2, . . . , xn)
— La norme euclidienne est notée ∥x∥=px2
1+x2 2+··· +x2
n
— La distance entre deux points xet yest d(x, y) = ∥x−y∥
—B(a, r) = {x∈Rn:∥x−a∥< r}désigne la boule ouverte de centre aet de rayon r
2 Fonctions de Plusieurs Variables
Définition 2.1 (Fonction de plusieurs variables).Une fonction de nvariables réelles à
valeurs dans Rpest une application
f:D⊂Rn−→ Rp
où Dest le domaine de définition de f.
Remarque
Dans ce cours, nous nous concentrerons principalement sur les cas p= 1 (fonctions
scalaires) et n= 2,3(deux ou trois variables).
Exemple 2.1. 1. f(x, y)=x2+y2définie sur R2
2. g(x, y) = xy
x2+y2définie sur R2\ {(0,0)}
3. h(x, y, z) = p1−x2−y2−z2définie sur {(x, y, z) : x2+y2+z2≤1}
3 Limites de Fonctions de Plusieurs Variables
3.1 Définition générale
Définition 3.1 (Limite).Soit f:D⊂Rn→Rpet aun point adhérent à D. On dit que
fadmet ℓ∈Rppour limite en asi :
∀ε > 0,∃δ > 0,∀x∈D, ∥x−a∥< δ ⇒ ∥f(x)−ℓ∥< ε
On note alors : lim
x→af(x) = ℓ
Remarque
Cette définition généralise la notion de limite pour les fonctions d’une variable. La
différence essentielle est que dans Rnavec n≥2, il existe une infinité de chemins
pour s’approcher d’un point a.
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3.2 Propriétés des limites
Propriété
Si lim
x→af(x) = ℓet lim x→ag(x) = m, alors :
1. lim
x→a(f+g)(x) = ℓ+m
2. lim
x→a(λf)(x) = λℓ pour tout λ∈R
3. lim
x→a(f·g)(x)=ℓ·m
4. lim
x→a
f(x)
g(x)=ℓ msi m̸= 0
3.3 Critère de non-existence d’une limite
Théorème 3.1 (Critère des chemins).Si fadmet une limite en a, alors pour tout chemin
continu γ: [0,1] →Dtel que γ(0) = a, on a :
lim
t→0f(γ(t)) = lim x→af(x)
Contraposée : Si on trouve deux chemins différents donnant des limites différentes,
alors fn’admet pas de limite en a.
Application
[Étude de limite - Méthode des chemins]
Problème : Étudier l’existence de lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2+y2
Solution :
Étape 1 : Approche par y= 0
Considérons le chemin γ1(t) = (t, 0). On a :
lim
t→0f(t, 0) = lim t→0
t·0
t2+ 0 = lim
t→00 = 0
Étape 2 : Approche par y=x
Considérons le chemin γ2(t) = (t, t). On a :
lim
t→0f(t, t) = lim t→0
t·t
t2+t2= lim
t→0
t2
2t2=1 2
Conclusion : Les deux chemins donnent des limites différentes (0̸=1
2), donc la
limite n’existe pas en (0,0).
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Application
[Étude de limite - Passage en polaires]
Problème : Étudier l’existence de lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2+y2
Solution :
Changement de variables : Posons x=rcos θet y=rsin θavec r=px2+y2.
Quand (x, y)→(0,0), on a r→0+. Calculons :
f(x, y) = x2y
x2+y2
=(rcos θ)2·rsin θ
r2
=r3cos2θsin θ
r2
=rcos2θsin θ
Or, |cos2θsin θ| ≤ 1pour tout θ, donc :
|f(x, y)|≤r=px2+y2
Ainsi, lim
(x,y)→(0,0) f(x, y)=0.
Conclusion : La limite existe et vaut 0.
3.4 Limites itérées
Définition 3.2 (Limites itérées).Pour une fonction f(x, y), on définit :
—lim
y→blim
x→af(x, y): limite itérée en xpuis en y
—lim
x→alim
y→bf(x, y): limite itérée en ypuis en x
Remarque
Attention : L’existence des limites itérées n’implique pas l’existence de la limite
double, et même si les deux limites itérées existent et sont égales, cela ne garantit
pas l’existence de la limite.
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Application
[Limites itérées vs limite double]
Problème : Soit f(x, y) = xy2
x2+y4pour (x, y)̸= (0,0). Calculer les limites
itérées et la limite en (0,0).
Solution :
Limite itérée en xpuis y:
lim
x→0f(x, y) = lim x→0
xy2
x2+y4= 0 pour y̸= 0
Donc lim
y→0lim x→0f(x, y)= 0
Limite itérée en ypuis x:
lim
y→0f(x, y) = lim y→0
xy2
x2+y4= 0 pour x̸= 0
Donc lim
x→0lim y→0f(x, y)= 0
Limite double : Considérons le chemin y=x(c’est-à-dire y2=x) :
f(x, x) = x·x
x2+x2=x2 2x2=1 2
Les limites itérées valent 0mais la limite double n’existe pas car différents chemins
donnent des valeurs différentes.
4 Continuité
4.1 Définitions
Définition 4.1 (Continuité en un point).Soit f:D⊂Rn→Rpet a∈D. On dit que f
est continue en asi :
lim
x→af(x) = f(a)
Autrement dit : ∀ε > 0,∃δ > 0,∀x∈D, ∥x−a∥< δ ⇒ ∥f(x)−f(a)∥< ε
Définition 4.2 (Continuité sur un ensemble).fest continue sur Dsi elle est continue
en tout point de D.
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