Électrostatique et Dipôle Électrostatique - Cours MPI Physique

Classes préparatoires aux grandes écoles
Filière scientifique
Voie Mathématiques, Physique, Informatique (MPI)
PHYSIQUE
CHAPITRE II & III : ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE ET DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Objectifs : Donner aux étudiants les notions nécessaires pour :
- Calculer le Champ électrostatique crée par une distribution de charges : cas d’une charge ponctuelle prise
comme point de départ, principe de superposition, distributions volumique, surfacique et linéique de
charge.
- Ressortir les symétries et invariances du champ électrostatique.
- Enoncer et appliquer le Théorème de GAUSS : notion de flux d’un champ de vecteurs, surface de GAUSS,
- Calculer le potentiel électrostatique d’un champ.
- Calculer la capacité du Condensateur : cas plan, cylindrique et sphérique en négligeant les effets de bord.
- Représenter les surfaces équipotentielles et les lignes du champ électrique.
- Calculer le champ et le potentiel crée par un dipôle électrostatique
- Etudier l’interaction entre un dipôle électrostatique et son environnement.

Électrostatique dans le vide et Dipôle Électrostatique
On s’interesse aux propriétés physiques des charges immobiles dans un référentiel R
supposé galiléen, placées dans le vide.
1.1 CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
1.1.1 Notions générales
◮On classe les corps en deux catégories :
•✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Conducteurs : présentent des électrons (de valence) libres qui peuvent se déplacer
d’un atome à un autre.
les métaux, les éléctrolytes, ···
Exemple
•✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Isolants : corps dépourvu d’électrons libres ( les électrons de valence sont liés).
le bois, le verre, le papier, le plastique ···
Exemple
◮L’électron est une particule «élementaire» de charge q=−e=-1.6×10−19 coulomb
◮Toute charge qest un multiple entier de la charge de l’électron : On dit que la
charge est quantifiée |q|=Ne
◮La charge est une grandeur extensive , ne dépend pas du référentiel, pour un
système isolé, la charge est conservée.
◮Une charge élémentaire dq occupant dans l’espace un volume élémentaire dτsera
considérée comme ponctuelle si les dimensions de dτsont très négligeables devant une
distance caractéristique du système, autrement dit le point P où se situe la charge dq est
vu du point M situé à grande distance.((dτ)1/3≪PM)
P(dτ, dq)
PM =rM
1

dq ponctuelle =⇒3
√dτ≪r
1.1.2 Répartition de charge
Soit qune charge occupant un volume (V):
P(dτ,dq)
(V,q)
Soit dq une charge élémentaire occupant le volume dτcentré en P
On appelle densité volumique de charge exprimé en ( C m−3 )la grandeur
ρ(P)=dq(P)
dτ(P)
=⇒q=$V ρ(P)dτ
Définition Densité volumique de charge
◮
Sphère de rayon R chargée uniformément en volume ( ρ=cte )
dq =ρdτ=⇒q=4
3ρπR3
◮
cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en volume ( ρ=cte )
dq =ρdτ=⇒q=ρπR2h
◮ Cube d’arrête a chargée uniformément en volume ( ρ=cte )
dq =ρdτ=⇒q=ρa3
Exemples
Lorsque une dimension est très négligeable devant les deux autres, on définit la densité
surfacique de charge (σ)
On appelle densité surfacique de charge exprimé en ( C m−2 )la grandeur
σ(P)=dq(P)
dS (P)=⇒q="Σ
σ(P)dS
Définition Densité surfacique de charge
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◮ Sphère de rayon R chargée uniformément en surface ( σ=cte )
dq =σdS =⇒q=4πσR2
◮
cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en en surface laté-
rale (
σ=cte )
dq =σdS =⇒q=2σπRh
◮ Disque de rayon R chargé uniformément
dq =σdS =⇒q=σπR2
Exemples
Si
deux dimensions sont négligeables devant la troisième alors on définit la densité linéique
On appelle densité linéique de charge exprimé en ( C m−1 )la grandeur
λ(P)=dq(P)
dℓ(P)=⇒q=ZΓ
λ(P)dℓ
Définition Densité linéique de charge
◮ segment AB de longueur ℓ
dq =λdℓ=⇒q=λℓ
Exemple
Pour une distribution discrète de charge différentes ; Avec qi la charge d’une
espèce et
Ni son nombre, occupant un volume V
Remarque
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Mi(qi)
Soit qla charge totale du système, donc :
q=
n
X
i=1
qiNi=⇒ρ=q
V=
n
X
i=1
n∗
iqi
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Avec n∗la densité particulaire , qui représente le nombre de particules par unité de
volume
n∗=N
V
1.1.3 Complément mathématique
On rappelle que :
◮Vecteur position et déplacement élémentaire :
−−→
OM −−−−→ dOM
Coordonnées cartésiennes x−→ ex+y−→ ey+z−→ ezdx −→ ex+dy−→ ey+dz −→ ez
Coordonnées Cylindriques r−→ er+z−→ ezr−→ er+rdθ−→ eθ+dz −→ ez
Coordonnées sphériques r−→ erdr −→ er+rdθ−→ eθ+rsin θdϕ−→ eϕ
◮Surface élémentaire :
Soit −→ aet −→ bdeux vecteurs :
−→
a
−→
bS
la surface Sdélimitée par le parallélogramme formé par −→ aet −→ best
S=k−→ a∧−→ bk
On oriente la surface Spar un vecteur unitaire −→ ndéfini par
−→
n=−→
a∧−→ b
k−→ a∧−→ bk
Il en résulte que
−→
S=S−→ n=⇒−→ S=−→ a∧−→ b
•Surface élémentaire en coordonnées cartésiennes :
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