MPSI Mariette
Transformée de Fourier
discrète
(facultatif )
Dans tout ce problème, ndésigne un entier naturel non nul. On munit l’ensemble Cnd’une addition +
de la manière suivante. Pour tout λ∈Cet pour tous vecteurs u= (u0, . . . , un−1), et v= (v0, . . . , vn−1)
de Cn, on pose :
u+λv = (u0+λv0, . . . , un−1+λvn−1)
On pose ω= e 2iπ
n. L’objectif est d’étudier l’application Fn:Cn−→ Cnqui à u= (u0, . . . , un−1)
associe l’élément Fn(u)=(v0, . . . , vn−1)défini par :
∀k∈J0, n −1K, vk=
n−1
X
j=0
ujωjk
Partie A – Préliminaires
1. Pour tout entier naturel k, calculer les sommes
n−1
X
j=0
ωjk et
n
X
j=1
ωjk.
2. Déterminer Fn(1,1,...,1) et Fn(1,ω,...,ωn−1).
3. Calculer Fn◦Fn. En déduire que Fnest une application bijective et déterminer son application
réciproque.
4. Montrer que :
∀u, u0∈Cn,∀λ∈R,Fn(u+λu0) = Fn(u) + λFn(u0)
On dit que l’application Fnest R-linéaire.
5. Déterminer F−1
n(1,1,0,...,0).
Partie B – Équations de convolution
Pour tous u, v ∈Cntels que u= (u0, . . . , un−1)et v= (v0, . . . , vn−1), on définit :
?le produit terme à terme de uet v, noté u×v, défini par :
u×v= (u0v0, . . . , un−1vn−1)
?le produit de convolution de uet v, noté u⊗v, défini par u⊗v= (w0, . . . , wn−1)où, pour tout
k∈J0, n −1K, le nombre complexe wkest la somme de tous les termes uivjtels que i+j≡k[n],
ce que l’on note :
wk=X
i+j≡k[n]
uivj
6. Montrer que :
∀u, v ∈Cn,Fn(u⊗v) = Fn(u)×Fn(v)
7. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation u⊗x=vd’inconnue x∈Cn
admette une solution.
8. Résoudre l’équation (1,1,...,1) ⊗x= (1,ω,...,ωn−1).
1
Partie C – Algorithme de Cooley-Tukey
9. Soient (u0, u1, u2, u3)∈C4et (v0, v1, v2, v3) = F4(u0, u1, u2, u3).
(a) Montrer qu’il existe a0, a1, b0, b1∈Ctels que :
v0=a0+b0, v2=a0−b0, v1=a1+ωb1et v3=a1−ωb1
(b) Déterminer α0, α1∈Ctels que (a0, a1) = F2(α0, α1).
10. On suppose qu’il existe m∈N∗tel que n= 2m. Pour tout u∈Cn, on notera u(P)(respectivement
u(I)) l’élement de Cmconstitué des coefficients d’indices pairs (respectivement impairs) de u.
(a) Posons Fn(u) = (v0, . . . , vn−1). Montrer que les éléments :
(a0, . . . , am−1) = Fm(u(P))et (b0, . . . , bm−1) = Fm(u(I))
sont tels que :
∀k∈J0, m −1K, vk=ak+ωkbket vm+k=ak−ωkbk
(b) On note Mnle nombre de multiplications nécessaires pour calculer Fn(u)pour u∈Cn. Que
peut-on dire de Mn?
2
1
/
2
100%
