cpge-paradise.com Modélisation et optimisation d'un système de cotation de paris sportifs Yanis FAYAD N°SCEI 19436 1 / 16 cpge-paradise.com Introduction (a) Ticket de Paris Sportifs (b) Française Des Jeux Figure 1 : Illustrations de présentation 2 / 16 (c) Parieur professionnel cpge-paradise.com Problématique De quelle manière les bookmakers mettent-ils en place des stratégies pour fixer leurs cotes de manière à maximiser leurs profits ? 3 / 16 cpge-paradise.com Plan 4 / 16 Modélisation du marché Modélisation des matchs de football Etude du gain du bookmaker Description du parieur Etude du sondage Calcul théorique des cotes Etude numérique des cotes Loi de Poisson Maximum de vraisemblance Résultats et commentaires Avantage domicile-extérieur Comparaison des cotes cpge-paradise.com Principe du Pari Sportif A Deux équipes : B Trois issues : (1) Victoire de A (2) Match nul (3) Victoire de B Notations : 𝑖𝑖 ↦ 𝐶𝐶𝑖𝑖 ∶ cote de l′évènement (𝑖𝑖) ↦ 𝑝𝑝𝑖𝑖 ∶ probabilité de l′évènement (𝑖𝑖) ↦ 𝑚𝑚𝑖𝑖 ∶ mise d′argent sur l′évènement (𝑖𝑖) 𝑀𝑀 ≝ ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖 ∶ mise totale 𝑚𝑚 𝑓𝑓𝑖𝑖 ≝ 𝑖𝑖 ∶ proportion d’argent sur l’évènement (𝑖𝑖) 𝑀𝑀 5 / 16 cpge-paradise.com Etude du Gain du Bookmaker Gain du bookmaker : Condition sur les cotes : Γ = 𝑀𝑀 1 − � 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝟙𝟙𝑖𝑖 𝔼𝔼 Γ > 0 ⟺ 1 1 , avec 𝛾𝛾 > 0. 1<� = 𝐶𝐶𝑖𝑖 1 − 𝛾𝛾 𝔼𝔼 Γ = 𝑀𝑀 1 − ∑ 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝟙𝟙𝑖𝑖 1 , où (𝑒𝑒) est l’alternative réalisée. 𝐶𝐶𝑒𝑒 < 𝑝𝑝𝑒𝑒 1 − 𝛾𝛾 1 ∀𝑖𝑖, 𝜋𝜋𝑖𝑖 ≝ < 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝜋𝜋𝑖𝑖 : probabilité induite par la cote 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑓𝑓 𝔼𝔼 Γ𝜋𝜋 = 𝑀𝑀 1 − 1 − 𝛾𝛾 ∑ 𝜋𝜋𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝟙𝟙𝑖𝑖 𝑖𝑖 6 / 16 cpge-paradise.com Exemple du PMU Si un joueur 𝑘𝑘 mise 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑘𝑘 sur le cheval i, et si ce cheval gagne, il récupère ∀𝑖𝑖, 𝜋𝜋𝑖𝑖𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝔼𝔼 Γ𝜋𝜋𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛾𝛾𝑀𝑀 1 − 𝛾𝛾 𝑀𝑀 𝕍𝕍 Γ𝜋𝜋𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 0 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑘𝑘 1−𝛾𝛾 = 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖 Est-il possible de faire mieux ? Sous réserve d’existence, soit 𝜋𝜋 ∗ ∈ 𝑃𝑃 = ∃ 𝐴𝐴⁄∀ 𝑖𝑖, 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝔼𝔼 Γ𝜋𝜋 𝜋𝜋 ∗ = 𝐴𝐴 ′⁄ ∃ 𝐴𝐴 ∀ 𝑖𝑖, 7 / 16 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖 ′ = 𝐴𝐴 2 𝜋𝜋𝑖𝑖∗ ∃ 𝐴𝐴′′ ⁄∀ 𝑖𝑖, 𝜋𝜋𝑖𝑖∗ = 𝐴𝐴𝐴′ 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝜋𝜋 ∈ ℝ∗+ 3 ; ∑ 𝜋𝜋𝑖𝑖 = 1 tel que 𝔼𝔼 Γ𝜋𝜋 𝜋𝜋 ∗ soit extrémale. ∇𝔼𝔼 Γ𝜋𝜋 𝜋𝜋 ∗ ∝ (1; 1; 1) ∑ 𝜋𝜋𝑖𝑖∗ = 1 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖 ∗ ⇒ ∀𝑖𝑖, 𝜋𝜋𝑖𝑖 = ∑ 𝑓𝑓 𝑝𝑝 𝑗𝑗 𝑗𝑗 cpge-paradise.com Description du Parieur Favourite-Longshot Bias Henery[1] (1985) : 𝑄𝑄 = 𝑓𝑓𝑓𝑓 , avec : 0 < 𝑓𝑓 < 1 SONDAGE 1 REG 𝑓𝑓 = 0.975 Probabilité minimale p 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 (2|4) (2|6) (2|8) (10|15) (10|30) (10|60) (50|70) (50|100) (50|200) (50|300) (100|200)(100|500) Mise et gain potentiel ( m | Γ ) 8 / 16 Figure 2 : Graphique représentant les résultats du sondage cpge-paradise.com Le Modèle Utilité : Condition de jeu : 𝑢𝑢 ∶ Γ, 𝑚𝑚 ↦ ℝ+ ( fonction croissante de Γ et de 𝑚𝑚 ) ∀𝑚𝑚 > 0, 𝑢𝑢(0,0) > 𝑢𝑢(−𝑚𝑚, 𝑚𝑚) 𝑚𝑚 ↦ 𝑢𝑢(−𝑚𝑚, 𝑚𝑚) est décroissante ! 𝑢𝑢 ∶ Γ, 𝑚𝑚 ↦ −𝑒𝑒 −𝛼𝛼Γ−𝛽𝛽𝛽𝛽 , pour 𝛼𝛼 > 𝛽𝛽 𝛼𝛼 = 0.11 9 / 16 𝛽𝛽 = 0.05 cpge-paradise.com Etude d’un pari à une issue Figure 3 : Tracé de courbe 10 / 16 cpge-paradise.com Modélisation des matchs de football Pour un match opposant les équipes 𝑖𝑖 et 𝑗𝑗 , on note 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 et 𝑌𝑌𝑖𝑖,𝑗𝑗 les nombres de buts respectivement inscrits par l'équipe jouant à domicile et l'équipe évoluant à l'extérieur. 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑌𝑌𝑖𝑖,𝑗𝑗 Poisson 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝜀𝜀 Poisson 𝛼𝛼𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. 𝛼𝛼𝑗𝑗 : les forces offensives de l’équipe 𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. 𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. 𝛽𝛽𝑗𝑗 : les faiblesses défensives de l’équipe 𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. 𝑗𝑗 𝜀𝜀 : traduction d’un avantage de jeu à domicile ℙ 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑥𝑥 11 / 16 𝜆𝜆𝑥𝑥 exp −𝜆𝜆 = 𝑥𝑥! ℙ 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑥𝑥, 𝑌𝑌𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑦𝑦 𝜆𝜆𝑥𝑥 exp −𝜆𝜆 = 𝑥𝑥! ℙ 𝑌𝑌𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑦𝑦 𝜇𝜇 𝑦𝑦 exp −𝜇𝜇 = 𝑦𝑦! 𝜇𝜇 𝑦𝑦 exp −𝜇𝜇 , où : 𝜆𝜆 = 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝜀𝜀 � � 𝜇𝜇 = 𝛼𝛼𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑦𝑦! cpge-paradise.com Maximum de vraisemblance Paramètres : 𝛼𝛼1 , … , 𝛼𝛼𝑛𝑛 , 𝛽𝛽1 , … , 𝛽𝛽𝑛𝑛 , 𝜀𝜀 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑘𝑘𝑘𝑘 exp −𝜆𝜆𝑘𝑘 𝐹𝐹 𝛼𝛼1 , … , 𝛼𝛼𝑛𝑛 , 𝛽𝛽1 , … , 𝛽𝛽𝑛𝑛 , 𝜀𝜀 = � 𝑥𝑥𝑘𝑘 ! 𝑘𝑘=1 𝑦𝑦 𝜇𝜇𝑘𝑘 𝑘𝑘 exp −𝜇𝜇𝑘𝑘 � 𝑦𝑦𝑘𝑘 ! 𝜕𝜕 ln 𝐹𝐹 𝜕𝜕 ln 𝐹𝐹 𝜕𝜕 ln 𝐹𝐹 ∀𝑖𝑖 ∈ 1, 𝑛𝑛 , = = =0 𝜕𝜕𝛼𝛼𝑖𝑖 𝜕𝜕𝛽𝛽𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜀𝜀 Système de 2𝑛𝑛 + 1 équations 12 / 16 cpge-paradise.com 13 / 16 Résultats et commentaires Figure 4 : Tableau des paramètres calculés cpge-paradise.com 14 / 16 Résultats et commentaires Figure 5 : Tableau confrontant les résultats de la simulation au réel cpge-paradise.com Calcul de l’avantage domicile-extérieur Méthode d’itérations : ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑗𝑗 + 𝑦𝑦𝑗𝑗,𝑖𝑖 ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗,𝑖𝑖 + 𝑦𝑦𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝛼𝛼𝑖𝑖 = et 𝛽𝛽𝑖𝑖 = 𝜀𝜀 + 1 ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝜀𝜀 + 1 ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑗𝑗 ∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑗𝑗 + 𝑦𝑦𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝜕𝜕 ln 𝐹𝐹 = 0 ⟹ 𝜀𝜀 = ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝜕𝜕𝜀𝜀 𝜀𝜀 = 1.246 15 / 16 cpge-paradise.com 16 / 16 Comparaison des résultats Figure 6 : Tableau des cotes du match OM-PSG du 31 mars 2024 avec 10% de marges cpge-paradise.com Annexe 1 Figure 7 : Tableau à remplir (SONDAGE) cpge-paradise.com Annexe 2 Figure 8 : Calcul des paramètres d’utilité (méthode des moindres carrées par descente de gradient) cpge-paradise.com Annexe 3 Figure 9 : Code du tracé de la courbe Annexe 4 cpge-paradise.com Principe de la méthode par itérations • • • • On initialise tous les 𝛼𝛼 et 𝛽𝛽 à 1 On calcule les 𝛼𝛼 à partir de ces valeurs initiales On détermine les 𝛽𝛽 à partir de ces nouvelles valeurs de 𝛼𝛼 On réitère ce processus 10000 fois ∀𝑖𝑖 ∈ 𝜕𝜕 ln 𝐹𝐹 1, 𝑛𝑛 , 𝜕𝜕𝛼𝛼𝑖𝑖 = 0 ⟹ 𝛼𝛼𝑖𝑖 = ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑗𝑗+𝑦𝑦𝑗𝑗,𝑖𝑖 2 ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝛽𝛽𝑗𝑗 ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗,𝑖𝑖 + 𝑦𝑦𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝜕𝜕 ln 𝐹𝐹 ∀𝑖𝑖 ∈ 1, 𝑛𝑛 , = 0 ⟹ 𝛽𝛽𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝛽𝛽𝑖𝑖 2 ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑗𝑗 avec ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑗𝑗 + 𝑦𝑦𝑗𝑗 ,𝑖𝑖 = total de but marqués par l’équipe i au cours de la saison avec ∑𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗,𝑖𝑖 + 𝑦𝑦𝑖𝑖,𝑗𝑗 = total de but encaissés par l’équipe i au cours de la saison cpge-paradise.com Annexe 5 Figure 10 : Calcul les caractéristiques de l’équipe Annexe 6 cpge-paradise.com 𝔼𝔼 𝑢𝑢 = 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑢𝑢 1−𝛾𝛾 −1 𝜋𝜋𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑚𝑚𝑖𝑖 + 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑢𝑢 − 𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≝ 𝑓𝑓𝛾𝛾,𝜋𝜋𝑖𝑖 ,𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝜋𝜋 𝑖𝑖 −1 𝑚𝑚𝑖𝑖∗ 𝛾𝛾, 𝜋𝜋𝑖𝑖 , 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝛾𝛾,𝜋𝜋 sup 𝑓𝑓 = ln ,𝑝𝑝 𝛾𝛾,𝜋𝜋 ,𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝛼𝛼 1−𝛾𝛾 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝔼𝔼 Γ𝜋𝜋 ℝ+ 1 𝜋𝜋𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖∗ 𝛾𝛾, 𝜋𝜋𝑖𝑖 , 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝜋𝜋𝑖𝑖 + 1−𝛾𝛾 1 − 𝑝𝑝 𝜋𝜋𝑖𝑖 Condition d’existence d’une mise optimale : 𝑝𝑝𝑖𝑖 � 1−𝑝𝑝𝑖𝑖 1−𝛾𝛾 −1+𝛽𝛽 ⁄𝛼𝛼 𝜋𝜋𝑖𝑖 1− 𝛽𝛽 ⁄𝛼𝛼 1−𝛾𝛾 1−𝛾𝛾+ 𝜋𝜋𝑖𝑖 1+𝛽𝛽 ⁄𝛼𝛼 𝐶𝐶𝑖𝑖 ≥ 1 𝑝𝑝𝑖𝑖 1 − 𝛽𝛽 ⁄𝛼𝛼 cpge-paradise.com Références Henery R.J. (1985), « On the Average Probability of Losing Bets on Horses with Given Starting Price Odds », Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General), vol. 148 (4), pp. 342-349 MAHER, M. J. : Modelling association football scores : www.90minut.pl/misc/maher.pdf DIXON, M. J. & COLES, S. G. : Modelling association football scores and inefficiencies in the football betting market