Géométrie Différentielle : Cours et Exercices Corrigés

G´eom´etrie diff´erentielle
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Table des mati`eres
Chapitre 1. Calcul diff´erentiel 1
1. Diff´erentielles 1
2. Inversion locale et fonctions implicites 10
3. Equations diff´erentielles 15
4. Partitions de l’unit´e 25
Chapitre 2. Vari´et´es diff´erentielles 27
1. Sous-vari´et´es de Rn27
2. Vari´et´es 32
3. Fibr´e tangent 39
4. Sous-vari´et´es 46
Chapitre 3. Feuilles de TD 51
1. TD1 : calcul diff´erentiel 51
2. TD2 : sous-vari´et´es, vari´et´es, revˆetements et quotients 55
3. TD3 : fibr´e tangent, sous-vari´et´es et plongements 59
Chapitre 4. Corrections partielles des feuilles de TD 63
1. TD1 63
2. TD2 72
3. TD3 83
Chapitre 5. Examens 93
1. Mars 2015 93
2. Mars 2015 : correction de l’exercice 1.2 95
3. Mai 2015 99
4. Mai 2015 : correction 100
iii
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CHAPITRE 1
Calcul diff´erentiel
1. Diff´erentielles
R´ef´erence : cours de l’ENS de Fr´ed´eric Paulin (Topologie, analyse et calcul diff´erentiel,
disponible en ligne).
1.1. Diff´erentielle d’ordre un. Si Eet Fsont des e.v.n, on note L(E, F ) l’espace des
applications lin´eaires continues E→F. Si Fest un Banach, alors L(E, F ) est un Banach.
Une application f:U→F, o`u Uest un ouvert de E, est dite diff´erentiable en a∈U
quand il existe g∈L(E, F ) telle que
(1.1) f(a+h)−f(a) = g(h) + o(h).
L’´egalit´e (1.1) est `a comprendre comme une in´egalit´e locale au voisinage de a, au sens
suivant : (1.1) exprime le fait que pour tout ε > 0,il existe r > 0 tel que pour tout h∈E,
si |h|< r, alors
|f(a+h)−f(a)−g(h)|< ε|h|.
Notation. L’application lin´eaire gest la diff´erentielle de f. On la note df(a) ou f0(a) ou
Df(a).
On remarque facilement qu’il y a unicit´e de la diff´erentielle en un point, et que la
diff´erentiabilit´e implique la continuit´e.
On d´efinit de mani`ere ´evidente la diff´erentiabilit´e dans un ouvert.
On dit que fest C1en aquand fest diff´erentiable au voisinage de a, et quand x→f0(x)
est continue en a. Noter que x→f0(x) est une application de Uvers L(E, F ).
Quand E=R,alors f0(x)∈L(R, F )'F, et on note f0(x)h=h
|{z}
∈R
f0(x)
|{z}
∈F
.
Proposition 1.1.
(1) Si fest constante, sa diff´erentielle est nulle.
(2) Si fest la restriction d’une application lin´eaire, alors f0(x)≡fpour tout x.
(3) (g◦f)0(a) = g0(f(a)) ◦f0(a).
(4) Si l’espace d’arriv´ee est un produit : la diff´erentiabilit´e ´equivaut `a la diff´erentiabilit´e
des composantes de la fonction.
(5) Lin´earit´e de l’application diff´erentielle.
(6) Si Eet Fsont des Banach, si Uest un ouvert de E, si f:U→f(U)est
un hom´eomorphisme diff´erentiable en aet tel que f0(a)soit bijective, alors f−1est
diff´erentiable en f(a),et f−1(f(a)) = f0(a)−1.
(7) L’application inv :u∈GL →u−1∈GL est C1,et inv0(u)h=−u−1◦h◦u−1.
1
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2 1. CALCUL DIFF´ ERENTIEL
Preuve. (3) On calcule
g(f(a+h)) = gf(a)+f0(a)h+o(h)=g(f(a))+g0(f(a))f0(a)h+o(h)+of0(a)h+o(h).
La premi`ere ´egalit´e par diff´erentiabilit´e de f, la seconde par diff´erentiabilit´e de g. Comme
f0(a) est continue :
o(f0(a)h+o(h)) = o(h).
Comme g0(f(a)) est continue :
g0(f(a))o(h) = o(h).
(6) Par compl´etude de Eet F, l’application lin´eaire inverse f0(a)−1est automatiquement
continue (par lin´earit´e, bijectivit´e et continuit´ de f0(a)). On note y=f(x) (notation non
ambigue car fest un hom´eomorphisme) et b=f(a).Alors par diff´erentiabilit´e de f:
y−b−f0(a)(x−a) = |x−a|ε(x),
avec ε(x)→0 quand x→a. Donc
(1.2) x−a=f0(a)−1(y−b)− |x−a|f0(a)−1ε(x),
et en majorant :
|x−a| ≤ C|y−b|+δC|x−a|,
avec δarbitrairement petit si |x−a|est petit. En particulier δC ≤1/2 si |x−a|assez petit.
Donc
(1.3) |x−a| ≤ 2C|y−b|,pour |x−a| ≤ r, pour un certain r > 0.
Revenons `a (1.2). On peut r´e´ecrire (1.2) :
(1.4) f−1(y)−f−1(b) = f0(a)−1(y−b)− |x−a|f0(a)−1ε◦f−1(y).
Il suffit maintenant de remarquer que ε◦f−1(y)→0 quand y→b, par continuit´e de f−1
et propri´et´e de ε. Donc avec (1.3),
|x−a|f0(a)−1ε◦f−1(y)≤2C|y−b|ε◦f−1(y) = o(y−b),
et avec (1.4) on a donc prouv´e la diff´erentiabilit´e de f−1,et aussi calcul´e (f−1)0(b).
Remarque. Si on ne suppose plus f0(a) bijective, alors le r´esultat n’est plus vrai. Cf le
contre-exemple x→x3dans R.
1.2. Th´eor`eme des accroissements finis.
Th´eor`eme 1.2. Si Uest un ouvert convexe de Eevn, et f:U→Fdiff´erentiable telle que
|f0(x)| ≤ Cpour tout x∈U, alors pour tous x, y ∈U,
|f(x)−f(y)| ≤ C|x−y|.
Pr´ecis´ement : si [x, x +h]⊂Uet si fest diff´erentiable en tout point de ]x, x +h[,alors
|f(x+h)−f(x)| ≤ sup
0<t<1|f0(x+th)||h|.
Le Th´eor`eme 1.2 en d´ecoule.
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