Université
abdelmalek
essandi
Année
2019-2020
Faculté
des
Sciences
S1
SMPC
Département
de
Mathématiques
Controle
d'Analysel1
(Durée:1h30):
Exercicel
:(10pts)
Soit
(u,),
la
suite
numérique
définie
par:
u=
2
n41=2+
Vn E N
1)
Calculer
u1,
uz
et
u3
2)
Montrer que
Vn
EN, n
20
3)
Soit
(zn)n
et
(yn),
les
suites
extraites
de
(u,),,
définies
par:
tn
=
uan
et
yn
=
anti
a)
Exprimer
d+1
en
fonction
de
#,
et
Vnt1
en
fonction
de
yn
b)
Montrer
que
ta
n
4)
Etudier
la
monotonie
de
(tn)
et
(yn)n
Yn N
5)
Montrer
que
Vn
EN
Vn+1
-n+1
S q5
(»#n)
6)
Déduire
que
(),
et
(yn),
sont
adjacentes
7)
Montrer
que
la
suite
(u),n
Converge
vers
une
limite
qu'on
déterminera
Exercice
2:(4pts)
log (1
+)
-
1)
On considère la fonction définie sur
R;
par
f(z)=
a)
Donner
le
DLs
(0)
de
log
(1
+
r)
b)
En déduire
le
DLi
(0)
de
f(r)
2)
Soit g
la
fonction
définie
sur
R
par:
g(z)
=.
f(a)
si
a
>0
au+b
si
c 0
a)
Pour
quelles
valeurs
de a
et
b g est-elle
continue
en
0?
b)
Pour
quelles
valeurs
de a
et
b g est-elle dérivable
en
0?
Exercice3:(6pts)
Soit h la fonction définie sur
|-oo,
-1
U
|l,
+ol
par:
h(a) =
Vr2+1+
Vr?-1
1)
Donner
le
DL4(0)
de
V1+r
et
VI-
2)
Montrer
que
la
courbe
T'
de
h
adnet
deux
asymptotes
obliques
A
au
voisinage de +oo
et
Az
au voisinage de
-oo
3)
Préciser
la
position
de
A
ct
Az
par
rapport
à
T'
1
/
1
100%
