Problème d'Arithmétique : Critères de Primalité

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Problème no15 : Arithmétique
Problème 1 –Critères de primalité
Ce problème étudie des tests de primamité utilisés notamment dans l’étude des nombres de Fermat Fn= 22n+ 1, et
des nombres de Mersenne Mn= 2n−1,n∈N∗.
Les résultats suivants, vus en exercice, pourront être utilisés sans avoir à en redonner la preuve :
•pétant un nombre premier impair, F∗
pcontient autant de carrés que de non carrés. En d’autre termes, l’image
par x7→ x2de F∗
pest de cardinal p−1
2.
•Sous les mêmes conditions, xest un carré dans F∗
psi et seulement si xp−1
2= 1. Dans le cas contraire, xp−1 2=−1.
•Pour tout corps fini K, le groupe (K∗,×)est cyclique. Il existe donc un élément a∈K∗d’ordre (multiplicatif)
|K| − 1.
Soit pun nombre premier impair. On appelle résidu quadratique modulo pun entier acongru à un carré modulo p,
c’est à dire tel que la classe ade adans Fpsoit un carré. En d’autres termes, il existe x∈Ztel que a≡x2[p]. Les
autres éléments de Zsont appelés non-résidus quadratiques modulo p.
Question préliminaire
Montrer que si n∈Nn’est pas un carré parfait (i.e. le carré d’un entier naturel), alors √nest irrationnel.
Partie I – Anneaux Z[ξ]/(p)
Dans cette partie, on considère le sous-anneau Zde l’anneau (C,+,×)des nombres complexes, et ξ∈Cun nombre
complexe fixé. On définit Z[ξ]comme étant, s’il existe, le plus petit sous-anneau Ade Ctel que Z⊂Aet ξ∈A. La
minimalité se traduit par le fait que tout autre anneau Bvérifiant ces deux conditions vérifie Z[ξ]⊂B.
1. Justifier l’existence de Z[ξ]en l’exprimant sous forme d’une intersection.
2. Que dire de Z[ξ]lorsque ξ∈Z?
3. Montrer que Z[ξ] = {P(ξ)|P∈Z[X]}, où Z[X]est l’ensemble de tous les polynômes à coefficients entiers.
L’écriture d’un élément a∈Z[ξ]sous la forme P(ξ)est-elle unique en général ? (on pourra par exemple considérer
ξ= i).
Dans la suite de cette partie, on se donne un nombre premier p.
4. On définit sur Z[ξ]le relation de congruence modulo ppar :
α≡β[p]⇐⇒ ∃γ∈Z[ξ], α −β=pγ.
Montrer qu’il s’agit d’une relation d’équivalence, et qu’elle est compatible avec le produit et l’addition de Z[ξ].
5. On note Z[ξ]/(p)l’ensemble quotient de Z[ξ]par la relation de congruence modulo p, donc l’ensemble des classes
de congruence modulo p. Justifier que les lois de Z[ξ]passent au quotient et définissent une structure d’anneau
sur Z[ξ]/(p).
6. Montrer que pour tout (a, b)∈(Z[ξ]/(p))2, on a (a+b)p=ap+bp(égalité dans Z[ξ]/(p)).
7. A-t-on en général ap=a, pour a∈Z[ξ]/(p)?
On remarquera qu’en se restreignant aux classes des entiers, on peut considérer que Fpest un sous-anneau de Z[ξ]/(p).
Partie II – Adjonction d’une racine
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On suppose dans cette partie que le nombre complexe ξvérifie ξ6∈ Zet ξ2∈Z. On note d=ξ2. L’anneau Z[ξ]
construit dans la partie précédente est donc un anneau minimal dans lequel dadmet une racine carrée. Il est parfois
noté également formellement Z[√d]. L’entier pest toujours supposé premier, et différent de 2. L’anneau Z[ξ]/(p)peut
alors être assimilé à un anneau de calcul modulaire auquel on aurait adjoint une racine de dmodulo p. Afin d’éviter
des lourdeurs d’écriture (et une confusion possible des notations apouvant désigner aussi bien la classe de amodulo
pque le conjugué de adans C), on désignera par la même notation aun élément de Z[ξ]et sa classe modulo pdans
Z[ξ]/(p).
1. Montrer que Z[ξ] = {aξ +b|a, b ∈Z}.
2. Montrer que la décomposition d’un élément xde Z[ξ]sous la forme x=aξ +bavec a,b∈Zest unique. On
pourra distinguer deux cas, suivant que d < 0ou d > 0.
3. On suppose toujours ppremier impair, et on suppose que d∧p= 1. Montrer dans Z[ξ]/(p)l’implication
z2= 0 =⇒z= 0.
Les deux dernières questions de cette partie ne sont pas indispensables à la suite du problème.
4. Pour tout x∈Z[ξ], si x=a+ξb, on note xc=a−ξb, et N(x) = x×xc. Montrer que pour tout x∈Z[ξ],
N(x)∈Z, et xest inversible dans Z[ξ]/(p)si et seulement si pne divise pas N(x).
5. Montrer que si dn’est pas un résidu quadratique modulo p(donc dne s’écrit pas sous forme d’un carré modulo
p), alors Z[ξ]/(p)est un corps.
Partie III – Conditions pour que 2et 3soient résidus quadratiques
Le but de cette partie est d’établir certains résultats concernant les carrés dans F∗
p. Nous cherchons notamment à savoir
à quelle condition 2et 3sont des carrés modulo p, en discutant suivant la classe de congruence de pmodulo 12 ou
modulo 8. Les résultats obtenus dans cette partie sont des cas particuliers d’un théorème plus général (théorème de
réciprocité quadratique), qui ne fait pas l’objet de ce problème.
Soit pun entier premier impair, et n∈Z. On note (n
p)la quantité :
(n
p) =
0si nest divisible par p
1si n∧p= 1 et nest un résidu quadratique modulo p
−1si n∧p= 1 et nest un non-résidu quadratique modulo p.
L’expression (n
p)est appelée symbole de Legendre.
On se fixe désormais un entier premier pdifférent de 2. Dans la suite du problème, on dira simplement que nest un
résidu quadratique lorsque nest un résidu quadratique modulo pet qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’entier premier p
considéré.
1. Montrer que pour tout n∈Z,(n
p)≡np−1
2[p].
2. À quelle condition sur pl’entier −1est-il un résidu quadratique ?
3. Sans exprimer explicitement 2sous forme d’un carré modulo p, déterminer si 2est un résidu quadratique modulo
pdans les cas suivants : p= 11,p= 17
4. 3est-il un résidu quadratique modulo 11 ? modulo 17 ?
5. Montrer que pour tous entiers net n′non divisibles par p:
(i) si net n′sont des résidus quadratiques, nn′aussi ;
(ii) si nest un résidu quadratique et n′un non-résidu ou inversement, alors nn′est un non-résidu quadratique ;
(iii) si net n′sont des non-résidus quadratiques, nn′est un résidu quadratique (procéder par dénombrement).
6. En déduire que (nn′
p) = ( n p)(n′ p).
7. Soit j= e 2 i π
3. On suppose que p > 3.
(a) Montrer que jest inversible dans Z[j]/(p). On pose b=j−j−1, élément de Z[j]/(p).
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(b) Calculer b2, et en déduire que −3est un résidu quadratique modulo psi et seulement si bp=b.
(c) Exprimer bpen fonction de jpet j−p, et en déduire une condition nécessaire et suffisante sur ppour que −3
soit un résidu quadratique modulo p.
(d) À l’aide de la question 5, en déduire que 3est un résidu quadratique modulo psi et seulement si p≡ ±1 [12].
8. Soit ω= eiπ
4, vu comme élément de Z[ω]/(p). En adaptant la preuve précédente, et en considérant b=ω+ω−1,
montrer que 2est un résidu quadratique modulo psi et seulement si p≡ ±1 [8], où pest un nombre premier
supérieur ou égal à 3.
Partie IV – Critère de primalité de Lehmer et critère de Pépin
Soit n > 1un entier impair
1. Soit a∈Z/nZun élément inversible. Montrer que l’ordre (multiplicatif) de aest égal n−1si et seulement si
an−1≡1 [n]et pour tout diviseur premier qde n−1,an−1
q6≡ 1 [n].
2. Montrer que nest premier si et seulement s’il existe un entier atel que an−1≡1 [n]et pour tout diviseur
premier qde n−1,an−1
q6≡ 1 [n](critère de primalité de Lehmer)
3. En déduire que le nombre de Fermat Fnest premier si et seulement s’il existe atel que aFn−1
2≡ −1 [Fn].
4. Montrer que Fnest premier si et seulement si 322n−1≡ −1 [Fn](critère de Pépin).
Partie V – Suites de Lucas
Soit Aun anneau, et x∈Aun élément inversible de A. On pose a=x+x−1, et pour tout n∈Z,Vn=xn+x−n.
Par abus de notation, pour tout n∈Z, on désignera simplement par nl’élément n·1Ade A. On rappelle que par
convention, x0= 1A.
1. Montrer que (Vn)n∈Zvérifie V0= 2,V1=a, pour tout n>1,Vn+1 =aVn−Vn−1, et pour tout n∈N,V−n=Vn,
et que ces relations déterminent entièrement (Vn)de façon unique.
2. Montrer que pour tout (m, n)∈Z2,VnVm=Vn+m+Vn−m(on pourra commencer par justifier qu’on peut se
contenter d’étudier le cas (m, n)∈N2).
3. En déduire une relation simple entre V2net Vn.
Partie VI – Critère de primalité de Lucas-Lehmer
1. Soit pun nombre premier impair et a∈Fp. On pose ∆ = a2−4, qu’on suppose premier avec p, et ξune racine
de ∆dans C.
(a) Montrer que dans Z[ξ]/(p), l’équation x2−ax + 1 = 0 admet au moins une solution. On se donne dans la
suite une solution xde cette équation.
(b) Justifier que xest inversible dans Z[ξ]/(p)et exprimer son inverse en fonction de aet de x.
(c) Exprimer (2x−a)2en fonction de ∆, puis à l’aide de (2x−a)p, montrer que si ∆p−1
2≡1 [p]on a xp−1= 1.
(d) Montrer que si ∆p−1
2≡ −1 [p], alors xp+1 = 1 dans Z[ξ]/(p).
(e) Montrer que pour tout m∈Z,xm= 1 équivaut à xm+x−m= 2.
2. Soit Nun entier impair. On se donne aun entier tel que Net a2−4soient premiers entre eux. Soit (Vi)i∈Nla
suite de Lucas initalisée par V0= 2,V1=a, et vérifiant donc la relation Vi+1 =aVi−Vi−1,i∈N∗. On suppose
que VN+1 ≡2 [N], et que VN+1
q−2et Nsont premiers entre eux pour tout facteur premier qde N+ 1. On
considère pun facteur premier de N, et ∆,ξet xtels que définis dans la question 1.
(a) Montrer que l’ordre (multiplicatif) de xdans Z[ξ]/(p)est égal à N+ 1.
(b) Déduire de la question 1 que N=p, puis que Nest premier (critère de primalité Lucas-Lehmer).
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3. Soit s > 1et Ms= 2s−1(nombre de Mersenne). Soit aun entier et (Li)i>1la suite définie par L1=a,
Li+1 =L2
i−2, pour tout i > 0.
(a) Montrer que si a2−4et Mssont premiers entre eux, et si Ls−1≡0 [Ms], alors Msest premier (critère de
Lucas)
(b) Montrer que si s > 1est impair le choix de a= 4 convient (on pourra commencer par montrer que
Ms≡7 [12]). Que dire du cas spair ?
4. Dans cette question, on montre la réciproque. On suppose que Msest premier et on définit la suite de Lucas
(Li)comme précédemment, définie avec la valeur a= 4. Soit ξdéfini comme plus haut, à partir de la valeur
a= 4, et x∈Z[ξ]/(Ms)tel que x2−4x+ 1 = 0. On pose β=x−2.
(a) Montrer que (1 + β)2= 2xet (1 −β)2= 2x−1.
(b) En déduire que dans l’anneau Z[ξ]/(Ms), on a l’égalité 2Ms+1
2Ls= (1 + β)Ms+1 + (1 −β)Ms+1.
∗(c) En déduire que Ls−1≡0 [Ms].
On a ainsi démontré le théorème de Lucas-Lehmer affirmant qu’avec les notations et les conditions de la question 3
et le choix de a= 4,Msest premier si et seulement si Ls−1≡0 [Ms].
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