Examen Maths Bac Maroc 2013 - Sciences Mathématiques

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1
3102 ‫الدورة العادية‬
‫املوضوع‬
NS25
4
‫الرياضيات‬
9
)‫شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (الترمجة الفرنسية‬
 La durée de l’épreuve est de 4 heures.
 L’épreuve comporte trois exercices et un problème
indépendants deux à deux.
 Les exercices et le problème peuvent être traités selon
l’ordre choisi par le candidat.
- Le premier exercice se rapporte aux structures algébriques.
- Le deuxième exercice se rapporte aux nombres complexes.
- Le troisième exercice se rapporte à l’arithmétique.
- Le problème se rapporte à l’analyse.
L’USAGE DES CALCULATRICES NON PROGRAMMABLES EST AUTORISE
L’usage de la couleur rouge n’est pas permis
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4
2
‫ شعبة العلوم الرياضية (أ) و‬-‫ الرياضيات‬:‫ مادة‬-‫ –املوضوع‬2013 ‫الدورة العادية‬- ‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا‬
)‫(ب) (الترمجة الفرنسية‬
Exercice1 :(3,5pts)
NS25
On rappelle que
 , , est un anneau commutatif, unitaire et intègre.
1- On munit
de la loi de composition interne  définie par :
 x, y    ; x  y  x  y  2
2
0.5
0.25
a) Montrer que la loi  est commutative et associative.
0.5
c) En déduire que
b) Montrer que  , admet un élément neutre que l’on déterminera.
2- On munit
 ,  est un groupe commutatif.
de la loi de composition interne  définie par :
 x, y    ; xy  xy  2x  2 y  6
2
0.75
 ; f  x  x  2
a) Montrer que l’application f est un isomorphisme de  , dans  , 
3
b) Montrer que :    x, y, z    ;  x  y  z   xz    yz 
3- En déduire de tout ce qui précède que  , ,   est un anneau commutatif et unitaire.
0.25
4-a) Montrer que : xy  2 si est seulement si ( x  2 ou y  2 )
et on considère l’application f de
0.5
0.25
dans
définie par :  x 
0.25
b) En déduire que l’anneau  , ,   est intègre.
0.25
c)  , ,   est-il un corps ? (justifier votre réponse)
Exercice2 :(3,5pts)
I- Soit a un nombre complexe non nul.
0.25

1-Vérifier que le discriminant de l’équation  E  est :  1  i 3  a
0.5
2-Résoudre dans
Soit dans l’ensemble



l’équation d’inconnue z :  E : 2 z  3  i 3 a z  1  i 3 a  0
2
2
l’équation  E 
2

II-Le plan complexe étant muni d’un repère orthonormé direct O, u , v
i


On considère les points A , B et M d’affixes respectifs a , b  ae 3 et z

3
1
( r désigne la rotation réciproque de r )
Soit r la rotation de centre M et d’angle
On pose A1  r
1
 A et B1  r  B 
et soient a1 et b1 les affixes respectifs de A1 et B1
0.5
1-Vérifier que le triangle OAB est équilatéral.
0.5
2- a) Montrer que : a1  
0.5
b) Montrer que le quadrilatère OA1MB1 est un parallélogramme.
3- On suppose que : M  A et M  B
0.5
1
2
a) Montrer que :
i
1
 1
1
3
3  et
3
3
b1     i
a    i
z
a    i
z
2 
2 
2 
2 
2
 2
2
z  b1
z b a


z  a1
za b
2
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4
0.75
3
NS25
‫ شعبة العلوم الرياضية (أ) و‬-‫ الرياضيات‬:‫ مادة‬-‫ –املوضوع‬2013 ‫الدورة العادية‬- ‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا‬
)‫(ب) (الترمجة الفرنسية‬
b) Montrer que M , A1 et B1 sont alignés si et seulement si M , O , A et B sont cocycliques.
Exercice3 :(3pts)
L’objectif de l’exercice est de chercher les entiers naturels n strictement supérieurs à 1 et qui vérifient
la propriété suivante :
 R  : 3n  2n  0 n
1-On suppose que n vérifie la propriété  R  et soit p le plus petit diviseur premier positif de n .
0.75
0.5
0.5
0.5
 
p 1
p 1
b) Montrer que : 2  1  p  et 3  1  p 
2
c)Montrer qu’il existe un couple  a, b  de
tel que : an  b  p  1  1
a)Montrer que : 3  2  0 p , en déduire que p  5
n
n
d) Soient r et q le reste et le quotient de la division euclidienne de a par p  1
 a  q  p  1  r avec
0  r  p  1 et q 

Montrer qu’il existe un entier naturel k tel que : rn  1  k  p  1
0.75
2- En déduire de tout ce qui précède qu’il n’existe pas d’entier naturel n strictement supérieur à 1
vérifiant
 R
Problème :(10pts)
On considère la fonction numérique h définie sur l’intervalle 1,
h 1  1 et
 x  1 ; h  x  
par :
x 1
x ln x
Première partie :
0.25
0.75
0.5
0.25
1-a)Montrer que la fonction h est continue à droite en 1
 x  1 ; ln x  x  1 , en déduire que la fonction h est strictement
décroissante sur l’intervalle 1,
2-a) Calculer lim h  x  puis donner le tableau de variations de h
x
b) En déduire que :  x  1 ; 0  h  x   1
b) Montrer que :
Deuxième partie :
On considère la fonction numérique g définie sur l’intervalle 1, par :
g 1  ln 2 et
x2
 x  1 ; g  x   x
1
dt
t ln t

Soit  C  la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé O, i, j
0.25
0.25
0.5
1-a) Vérifier que :  x  1 ;

x2
x
1
dt  ln 2
t ln t
t 1
dt
x
t ln t
x t 1
dt
c) Montrer que :  x  1 ; g  x   ln 2  
x t ln t
b) Vérifier que :  x  1 ; g  x   ln 2  
x2

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4
0.5
3
NS25
‫ شعبة العلوم الرياضية (أ) و‬-‫ الرياضيات‬:‫ مادة‬-‫ –املوضوع‬2013 ‫الدورة العادية‬- ‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا‬
)‫(ب) (الترمجة الفرنسية‬
2-a)Montrer que :  x  1 ;
 x  x  h  x   g  x   ln 2   x  x  h  x 
0. 5
b) En déduire que la fonction g est dérivable à droite au point 1
0.75
c)Montrer que : lim g  x    et que lim
0.75
0.5
0.5
g  x
0
x 
x
x
1
'
3-a)Montrer que g est dérivable sur l’intervalle 1, et que :  x  1 ; g  x   h
2
1
 x  1 ; 0  g '  x   , puis donner le tableau de variations de g
2
c) Construire la courbe  C 
b) En déduire que :
Troisième partie :
0.5
I-1-Montrer que la fonction k : x
l’intervalle ,ln 2
0.25
g  x   x  1 est une bijection de l’intervalle 1, dans
2- En déduire qu’il existe un unique réel  de l’intervalle 1, qui vérifie : 1  g    
II- On considère la suite numérique  un n0 définie par :
1  u0   et
0.5
0.5
0.75
1- a) Montrer que :  n  0 
n  0 ; un1  1  g un 
; 1  un  
b) Montrer que la suite  un n0 est strictement croissante.
c) En déduire que la suite  un n0 est convergente et que lim un  
n
0.5
0.5
0.25
 x
1
un  
2
n
1
b) Montrer que :  n  0  ; un      u0  
2
c) En déduire une deuxième fois, que : lim un  
2-a) Montrer que :  n  0  ; un1   
n
FIN
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‫الدورة العادية ‪3102‬‬
‫‪NR25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫عناصر اإلجابة‬
‫الرياضيات‬
‫‪4‬‬
‫شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (الترمجة الفرنسية)‬
‫‪9‬‬
‫المرجو من السادة المصححين أن يأخذوا بعين االعتبار مختلف األجوبة الصحيحة للتلميذ و عدم ‪.‬‬
‫‪…..‬التقيد فقط بالحلول المقترحة في هذه الوثيقة‪.‬‬
‫التمرين األول‬
‫(‪5.3‬نقطة)‬
‫القانون ‪ ‬تبادلي‪0.25..............................................................................................‬ن‬
‫القانون ‪ ‬تجميعي‪0.25............................................................................................‬ن‬
‫ب)‬
‫ج)‬
‫‪  ,‬يقبل عنصرا محايدا هو ‪0.25.................................................................... 2‬ن‬
‫‪-1‬أ)‬
‫كل عنصر من‬
‫يقبل مماثال في ‪0.25..............................................................  ,‬ن‬
‫‪  ,‬زمرة تبادلية‪0.25........................................................................................‬ن‬
‫‪ -2‬أ)‬
‫ب)‬
‫‪-3‬‬
‫التطبيق ‪ f‬تشاكل‪0.25........................................................................................‬ن‬
‫التطبيق ‪ f‬تقابل‪0.25...........................................................................................‬ن‬
‫المتساوية‪0.25....................................................................................................‬ن‬
‫ باستعمال التشاكل ‪ f‬القانون ‪ ‬تبادلي و تجميعي و يقبل عنصرا محايدا‪0.25..........................‬ن‬‫ القانون ‪ ‬توزيعي بالنسبة للقانون ‪0.25................................................................. ‬ن‬‫‪  , -‬زمرة تبادلية و الخالصة‪0.25.......................................................................‬ن‬
‫‪ -4‬أ)‬
‫التكافؤ ‪0.25....................................................................................................‬ن‬
‫ب)‬
‫الحلقة ال تقبل قواسم للصفر‪0.25..........................................................................‬ن‬
‫ج)‬
‫العنصر ‪ x‬من‬
‫يقبل مماثال بالنسبة للقانون ‪ ‬إذا و فقط إذا كان‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫يعني ‪ x  3‬أو ‪ x  1‬إذن‬
‫‪  , ,  ‬ليس جسما أو فقط مثال مضاد ‪0.25..........................................................‬ن‬
‫‪-1 -I‬‬
‫(‪ 5.3‬نقطة)‬
‫تحديد مميز المعادلة‪0.25......................................................................................‬ن‬
‫‪-2‬‬
‫حل المعادلة ‪0.5.....................................................................................  E ‬ن‬
‫التمرين الثاني‬
‫‪-1-II‬‬
‫‪-2‬أ)‬
‫التحقق من أن ‪ OAB‬متساوي األضالع‪0.5................................................................................‬ن‬
‫حساب ‪0.25.................................................................................................. a1‬ن‬
‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا ‪-‬الدورة العادية ‪– 2013‬عناصر اإلجابة‪ -‬مادة‪ :‬الرياضيات‪ -‬شعبة العلوم الرياضية‬
‫(أ) و (ب) (الترمجة الفرنسية)‬
‫حساب ‪0.25.................................................................................................. b1‬ن‬
‫‪NR25‬‬
‫ب)‬
‫‪ OA1MB1‬متوازي األضالع‪0.5.........................................................................‬ن‬
‫‪ -3‬أ)‬
‫المتساوية‪0.5............................................................................................................‬ن‬
‫ب)‬
‫التكافؤ ‪0..5...............................................................................................................‬ن‬
‫(‪5‬نقط)‬
‫التمرين الثالث‪:‬‬
‫‪-1‬أ)‬
‫‪ p / n‬و ‪ n‬يقسم ‪0.25............................................................................. 3  2‬ن‬
‫االستنتاج ‪0.5.........................................................................................................‬ن‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬تطبيق مبرهنة فيرما في حالتي ‪ 2‬و‪0.5=0.25+0.25................................................................. 3‬ن‬
‫ب)‬
‫العددان ‪ n‬و ‪ p  1‬أوليان فيما بينهما ‪0.25............................................................‬ن‬
‫تطبيق مبرهنة بوزو‪0.25.....................................................................................‬ن‬
‫ج)‬
‫د)‬
‫نأخذ ‪0.25................................................................................... k  b  qn‬ن‬
‫ثم نبين أنه ‪ k‬عدد صحيح طبيعي‪0.25.....................................................................‬ن‬
‫‪-2‬‬
‫البرهان بالخلف ثم نحصل على ‪ 3nr  2nr  p‬و ‪ p‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪k p 1‬‬
‫‪ 3‬ادن ‪ 3  2  p ‬أي أن‬
‫‪k  p 1‬‬
‫‪ p  1‬و هذا تناقض ‪0..5.................................................................................‬ن‬
‫(‪ 01‬نقط)‬
‫مسألة‪:‬‬
‫الجزء األول‬
‫‪ -1‬أ)‬
‫ب)‬
‫‪ -2‬أ)‬
‫لدينا‪ lim h  x   1 :‬و ‪0.25............................................................ h 1  1‬ن‬
‫‪x1‬‬
‫المتفاوتة‪0.25............................................................................................‬ن‬
‫‪ h‬تناقصية قطعا ( إشارة ‪ h '  t ‬هي إشارة ‪0.5........................) ln t  t  1‬ن‬
‫‪0.25................................................................................. lim h  x   0‬ن‬
‫‪x‬‬
‫جدول التغيرات ‪0.25......................................................................................‬ن‬
‫ب)‬
‫الجزء الثاني‬
‫‪ -1‬أ)‬
‫ب)‬
‫االستنتاج من جدول التغيرات ‪0.25..................................................................‬ن‬
‫التحقق باستعمال دالة أصلية للدالة‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t ln t‬‬
‫‪0.25.............................................. t ‬ن‬
‫التحقق باستعمال مجموع تكاملين ‪0.25....................................................................‬ن‬
‫ج)‬
‫استعمال طريقة تغيير المتغير بوضع ‪0.5............................................. u  t :‬ن‬
‫‪ -2‬أ)‬
‫المتفاوتة المزدوجة‪0.5....................................................................................‬ن‬
‫الصفحة‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا ‪-‬الدورة العادية ‪– 2013‬عناصر اإلجابة‪ -‬مادة‪ :‬الرياضيات‪ -‬شعبة العلوم الرياضية‬
‫(أ) و (ب) (الترمجة الفرنسية)‬
‫‪g  x   ln 2‬‬
‫‪0.5..........................................‬ن‬
‫االستنتاج من السؤال ‪-2‬أ) بتأطير‬
‫ب)‬
‫‪x 1‬‬
‫ج)‬
‫النهاية ‪0.25.............................................................. lim g  x   ‬ن‬
‫‪-3‬أ)‬
‫‪g  x‬‬
‫النهاية ‪ 0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫قابلية اشتقاق ‪0.25.................................................................................... g‬ن‬
‫حساب ‪0.5...................................................................................... g '  x ‬ن‬
‫‪NR25‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0.5.................................................................. lim‬ن‬
‫ب)‬
‫االستنتاج ‪0.25.............................................................................................‬ن‬
‫جدول التغيرات‪0.25......................................................................................‬ن‬
‫ج)‬
‫انشاء المنحنى ‪0.5..............................................................................  C ‬ن‬
‫الجزء الثالث‪:‬‬
‫‪-1 - I‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪ -1 II‬أ)‬
‫الدالة ‪ k‬متصلة و تناقصية قطعا على المجال ‪0.25.................................. 1,‬ن‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫و ‪0.25............................................................... k 1,   ,ln 2‬ن‬
‫وجود و وحدانية العدد ‪0.25.............................................................................. ‬ن‬
‫البرهان بالترجع ‪0.5.....................................................................‬ن‬
‫ب)‬
‫المتتالية تزايدية قطعا ‪0.5....................................................................................‬ن‬
‫ج)‬
‫ بما أنها أيضا مكبورة بالعدد ‪0.25.......................................................................... ‬ن‬‫ الدالة ‪1  g  x ‬‬‫‪ x‬متصلة على المجال ‪ 1,‬و المتتالية متقاربة ادن نهايتها حل للمعادلة‬
‫‪ -2‬أ)‬
‫تطبيق مبرهنة (أو متفاوتة) التزايدات المنتهية‪0.5.............................................‬ن‬
‫ب)‬
‫البرهان بالترجع أو أي طريقة صحيحة‪0.5................................................................‬ن‬
‫‪0.5....................................................................................... x  1  g  x ‬ن‬
‫‪n‬‬
‫ج)‬
‫‪1‬‬
‫لدينا ‪ lim    0‬وتوظيف مصاديق التقارب‪0.25...............................................‬ن‬
‫‪n 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫الصفحة‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬