Conditionnement

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Conditionnement - Indépendance
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Conditionnement - Indépendance
1-Probabilité conditionnelle.
La notion de probabilité conditionnelle est essentielle en calcul de probabilités. Elle apparaît
naturellement lorsqu’au cours d’une expérience aléatoire, une ”information partielle” est fournie à
l’expérimentateur.
Exemple introductif.
Considérons l’expérience aléatoire E: ”lancer deux dés discernables équilibrés à 6 faces numérotées de 1 à
6”. On peut choisir l’espace probabilisé ,A,Ptel que :
  x,y/x,y1,2,...,61,2,...,62;card  62;
AP;P: équiprobabilité sur ,A.
Soient les événements A: ”le premier dé porte le numéro 6” et B: ”la somme des numéros des deux dés
est supérieure ou égale à 11”. On a A6,y,y1,2,...,6 61,2,...,6et
B5,6,6,5,6,6. D’où PAcardA
card6
621
6et PBcardB
card3
621
12 .
Supposons maintenant que l’on sache que Best réalisé. Dans ces conditions, comment est modifiée la
probabilité de A?
Il est naturel de considérer le nouvel univers B5,6,6,5,6,6, ensemble des seuls résultats
possibles, étant donnée l’information ”Best réalisé”. On le munit de la tribu des événenements APet
de l’équiprobabilité Psur ,A.
Dans ce nouvel espace probabilisé, l’événement Adevient A6,5,6,6.
Ainsi, PAcardA
card2
3. En remarquant que AABet B, on a :
PAcardAB
cardB 
cardAB
card
cardB
card
PAB
PB.
1.1.Définition.Propriété.
Définition.
Soient ,A,Pun espace probabilisé et Bun événement de probabilité non nulle.
Pour tout événement A(AA), on appelle probabilité conditionnelle de A sachant B (i.e. sachant que B
est réalisé) le nombre réel noté PA/Bdéfini par :
PA/BPAB
PB.
Remarque. Lorsque Aet Bsont incompatibles (i.e. AB), on a PA/B0.
Propriété.
L’application PBdéfinie sur ,Apar :
pour tout AA,PBAPA/B
est une probabilité sur ,A, appelée probabilité conditionnelle à B.
Preuve.
Il est clair que PBest une application de Adans 0,1. On a : PBPB
PBPB PB1.
Stéphane Ducay 1

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Soit An
nune suite d’événements deux à deux incompatibles.
Alors
nAnB n
AnB, les événements AnBétant deux à deux incompatibles,
car pour ij,AiBAjBAiAjB  B. On en déduit que :
PB
nAn
P
nAnB
PB
P
n
AnB
PB
nPAnB
PB
nPBAn.
1.2.Formule des probabilités composées.
Proposition.
isi Aet Bsont 2 événements tels que PB0, alors PABPBPA/BPBPBA;
iisi Aet Bsont 2 événements tels que PA0, alors PABPAPB/APAPAB;
iiisi A1,A2,...,Ansont névénements tels que PA1A2...An10, alors
PA1A2...AnPA1PA2/A1PA3/A1A2...PAn/A1...An1
PA1PA
1
A2PA
1
A
2
A3...PA
1
...A
n1
An
Preuve.
iet iisont des conséquences immédiates de la définition :
PA/BPAB
PBet PB/APBA PA, avec BAAB.
iiise démontre aisément par récurrence sur n.
En observant que A1...An1A1...An2A1, on a
0PA1A2...An1PA1...An2PA1,
ce qui assure l’existence des probabilités conditionnelles apparaissant dans la formule.
Exemple.
Dans une urne contenant 10 boules blanches et 5 boules noires on tire successivement et sans remise 2
boules. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches ?
1ère méthode. On applique les résultats sur les schémas d’urnes : le mode de tirage est équivalent à des
tirages simultanés de n2 boules dans une urne contenant N110 boules blanches, N25 boules noires ;
soit N15 boules dans l’urne. La probabilité d’obtenir k2 boules blanches est
2CN
1
kCNN
1
nk
CN
nC10
2C5 0
C15
23
7.
2ème méthode. Soient les événements Ai: ”la i-ème boule tirée est blanche”, i1,2.
On veut calculer PA1A2.
On a PA110
15 (il y a 10 boules blanches parmi les 15 boules de l’urne)
et PA2/A19
14 (il n’y a plus que 9 boules blanches parmi les 14 boules de l’urne),
donc PA1A2PA1PA2/A110
15 9 14 3
7.
1.3.Formule des probabilités complètes (ou totales).
Proposition.
Soit ,A,Pun espace probabilisé et AiiI(I) un système complet d’événements de probabilité
non nulle, i.e.  
iIAi, les Aiétant deux à deux incompatibles et tels que PAi0 pour tout iI. Alors,
pour tout événement B, on a
PB
iI
PBAi
iI
PAiPB/Ai
iI
PAiPA
i
B.
Preuve.
On a BB  B
iIAi iIBAi, les BAiétant deux à deux incompatibles,
donc PBP
iIBAi
iIPBAi iIPAiPB/Ai.
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Un cas particulier.
Soit un événement Atel que PA0 et PA0.
Considérant le système complet d’événements A,A, on obtient
PBPAPB/APAPB/APAPABPAPAB.
Exemple.
Deux usines U1et U2produisent des pièces de moteur en même quantité. La proportion de pièces
défectueuses de chaque usine est respectivement p1et p2. On réunit les deux productions et on choisit une
pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
Considérons les événements : Ai: ”la pièce provient de Ui”, i1,2 et B: ”la pièce est défectueuse”. On
veut calculer PB.
A partir du système complet d’événements A1,A2AiiI, avec I1,2, la formule des
probabilités complètes donne
PB
iI
PAiPB/Ai
i1
21
2pip1p2 2.
1.4.Formule de Bayes.
Proposition.
Soit ,A,Pun espace probabilisé et AiiI(I) un système complet d’événements de probabilité
non nulle. Alors, pour tout événement Bde probabilité non nulle, on a
pour tout jI,PBAjPAj/BPAjPB/Aj
PBPAjPB/Aj
iIPAiPB/AiPAjPA
j
B
iIPAiPA
i
B.
Preuve.
Par définition, PAj/BPAjB
PB. Les formules des probabilités composées et complètes donnent
respectivement PAjBPAjPB/Ajet PB
iIPAiPB/Ai.
Remarque.
Cette formule s’interprète souvent de la façon suivante : les Aisont les différentes causes pouvant
conduire à la réalisation de B. Connaissant les probabilités PAide chaque cause et celles PB/Aide B
conditionnellement aux causes Ai, on calcule la probabilité PAj/Bque la réalisation de Bsoit due à la cause
Aj.
Exemple.
Reprenons l’exemple précédent.
Sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne de U1?
On veut calculer PA1/B. D’après la formule de Bayes, on a
PA1/BPA1PB/A1
PB
1
2p1
p1p2
2
p1
p1p2.
2-Indépendance en probabilité.
2.1.Indépendance de deux événements.
Lorsque Aet Bsont deux événements, on peut caractériser le fait que Aet Bsont indépendants, i.e. que A
se réalise indépendamment de la réalisation ou non de B, par l’égalité PA/BPAPA/B. Utilisant le
fait que PA/BPAB
PB, on adopte alors la définition suivante.
Définition.
Soit ,A,Pun espace probabilisé. Deux événements Aet Bsont dits indépendants (en probabilité) si et
seulement si PABPAPB.
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Remarques.
iSi l’un des deux événements Aou Best quasi-impossible, alors Aet Bsont indépendants. En effet,
supposons que PA0 ; comme ABA, on a 0 PABPA, donc PAB0, et ainsi
PAB0PAPB.
iiNe pas confondre indépendance et incompatibilité de Aet B! Noter que l’indépendance est relative à
la probabilité Pchoisie, alors que l’incompatibilité (AB) ne l’est pas.
En fait, la propriété d’indépendance n’est pas seulement liée aux deux événements considérés mais à leurs
tribus engendrées TAet TB; rappelons que TA,A,A,.
Théorème.
Soit ,A,Pun espace probabilisé. Deux événements Aet Bsont indépendants (en probabilité) si et
seulement si tout événement de la tribu TAengendrée par Aest indépendant de tout événement de la tribu TB
engendrée par B.
Preuve.
Supposons que Aet Bsont indépendants, i.e. que PABPAPB.
On sait que PBPBAPBA; on en déduit que
PBAPBPBAPBPBPAPB1PA PBPA,
i.e. que Bet Asont indépendants.
De plus, PB P0PBP, i.e. Bet sont indépendants,
et PBPBPBP, i.e. Bet sont indépendants.
Ainsi, Best indépendant de tout événement de TA. On montre l’analogue pour B,et .
Remarque. La notion d’indépendance n’est pas toujours intuitive. Il faut donc la vérifier par un calcul,
comme le montre l’exemple suivant.
On considère les familles ayant nenfants, n2. On suppose l’équiprobabilité d’obtenir une fille ou un
garçon à chaque naissance. On choisit une famille au hasard. On peut considérer :
  arrangements avec répétition d’ordre nde l’ensemble F,G.
Comme card  2nest fini, la tribu des événements est AP.
On considère naturellement sur ,Al’équiprobabilité P.
Soient les événements A: ”la famille a des enfants des deux sexes” et B: ”la famille a au plus une fille”.
On montre que : PA12
2n,PB1n 2net PABn 2n.
On a alors PAPBPAB2n2n2
22n. On en déduit que les événements Aet Bsont donc
indépendants si et seulement si 2n2n20, i.e. n3.
Remarque. L’indépendance de deux événements Aet Bn’est pas une propriété intrinsèque aux événements ;
elle est toujours relative à l’espace probabilisé ,A,Pque l’on a choisi, comme le montre l’exemple
suivant.
On extrait une boule au hasard d’une urne en contenant 12 numérotées de 1 à 12, et on considère les
événements A: obtenir un numéro pair et B: obtenir un multiple de 3.
On choisit naturellement   1,...,12,APet Pl’équiprobabilité sur ,A. On a alors
A2,4,6,8,10,12,B3,6,9,12et AB6,12, d’où
PA1
2,PB1 3et PAB1 6PAPB:Aet Bsont indépendants.
Si l’on rajoute dans l’urne une boule numérotée 13, on choisit alors 1,...,13,APet P
l’équiprobabilité sur ,A. Les événements Aet Bsont inchangés mais on a alors :
PA6
13 ,PB4 13 et PAB2 13 PAPB:Aet Bne sont pas indépendants.
Dans le premier cas, la proportion de multiples de 3 parmi les pairs est la même que parmi les impairs ;
savoir que Aest réalisé (numéro pair) ne modifie en rien notre information sur B.
Dans le deuxième cas, la proportion de multiples de 3 parmi les pairs est plus élevée que parmi les impairs
; savoir que Aest réalisé (numéro pair) augmente un peu la probabilité que nous pouvons attribuer à B.
2.2.Indépendance de névénements.
On peut généraliser la notion d’indépendance à une famille finie ou infinie d’événements.
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Définitions.
Soient ,A,Pun espace probabilisé et névénements A1,A2,...,An. Ces névénements sont dits
(mutuellement) indépendants si et seulement si pour toute partie I1,2,...,n,P
iIAi
iIPAi.
De même, si AjjJest une famille infinie d’événements, on dit que les événements Ajsont mutuellement
indépendants si et seulement si pour toute partie finie KJ, la famille AkkKest formée d’événements
mutuellement indépendants.
Dans ces conditions, on a aussi la mutuelle indépendance en remplaçant certains Aipar leur
complémentaire Ai(résultat admis).
Noter que cette notion est plus forte que la précédente. En effet, une famille d’événements peut être
formée d’événements indépendants deux à deux sans qu’ils soient mutuellement indépendants, comme le
montre l’exemple suivant. L’indépendance mutuelle signifie que les événements sont indépendants deux à
deux, trois à trois, ... Par ailleurs, avec les notations de la définition précédente, les événements A1,...,Ansont
dits indépendants dans leur ensemble si on a l’égalité P
i1
nAi
i1
nPAi.
Exemple.
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On prend   P,F2,APet P
l’équiprobabilité sur ,A. On considère les événements A: ”le premier jet donne Pile”, B: ”le deuxième jet
donne Pile” et C: ”les deux jets donnent le même résultat”
On a PAcardA
cardcardP,P,P,F card2
41 2et de même PBPC1 2;
PAB1
4PAPB;PAC1 4PAPC;PBC1 4PBPC;
PABC1
41 8PAPBPC.
Les événements A,Bet Csont donc indépendants deux à deux, mais pas mutuellement indépendants.
Application à la répétition d’expériences.
On rencontrera souvent la situation suivante : on répète nfois la même expérience aléatoire E, dans les
mêmes conditions. Il est alors naturel de considérer les résultats de ces nexpériences comme mutuellement
indépendants. Plus précisément, si Aiest un événement lié à la i-ème expérience, i1,...,n, alors les n
événements A1,A2,...,Ansont mutuellement indépendants.
Exemple.
On répète nfois, dans les mêmes conditions, une expérience aléatoire Eau cours de laquelle un événement
Aa la probabilité pde se réaliser. Quelle est la probabilité que l’événement Ase réalise exactement kfois,
0kn?
Considérons les événements Ai: ”Ase réalise au cours de la i-ème expérience”, i1,...,n, et Bk: ”Ase
réalise exactement kfois”, 0 kn.
On a PAipet PAi1ppour tout i1,...,n.
On a Bk
I
k
iI
k
Ai
jI
n
\I
k
Aj, où Ikest une partie quelconque de kéléments de 1,2,...,n;Ik
indique au cours de quelles expériences Aest réalisé.
Comme Bkest la réunion d’événements deux à deux incompatibles, on a :
PBk
I
k
P
iI
k
Ai
jI
n
\I
k
Aj.
Pour chaque partie Ik, les événements Ai,iIk, et Aj,jIn\Iksont mutuellement indépendants, donc
P
iI
k
Ai
jI
n
\I
k
Aj
iI
k
PAi
jI
n
\I
k
PAjpk1pnk,
et ainsi PBk
I
k
pk1pnk.
Le terme dans la somme ne dépendant pas de Ik, et le nombre de parties Ikétant Cn
k, on a donc
PBkCn
kpk1pnk. On retrouve la loi Binomiale de paramètres n,p.
Stéphane Ducay 5