Calcul Intégral : Méthodes Générales - Cours Universitaire

Université en Ligne. Mathématiques
Intégration
Annette Decomps Université Paris VI
CALCUL INTÉGRAL : MÉTHODES GÉNÉRALES
L’objet de cette partie est d’expliciter les deux principales méthodes utilisées pour calculer des
intégrales définies ou indéfinies.
Rappel des notations : On considère une fonction f continue sur un intervalle I de R.
- Étant donné deux points a et b de I, le symbole
()
b
aftdt
∫,
intégrale définie de f sur l’intervalle
[]
,
ab, représente un nombre, la variable t est une variable
muette, on peut la noter u, θ ,…..peu importe.
- En revanche nous désignons par
()
fxdx
∫
intégrale indéfinie, une primitive quelconque de f sur I , c’est une fonction de la variable x, définie
à une constante près et si F est une primitive déterminée de f, on a
() () ,
f x dx F x k k R
=+∈
∫ .
- La primitive de f qui s’annule en a est la fonction : ( )
x
a
xftdt
∫
$.
Nous verrons, dans la suite, que le calcul des intégrales indéfinies doit être abordé avec beaucoup de
précautions, il est souvent préférable de calculer une primitive particulière ( ) ,
x
a
xftdtaI
∈
∫
$ et
d’ajouter une constante . C’est le cas en particulier quand on effectue deux intégrations successives,
ainsi pour trouver toutes les fonctions qui vérifient () sin
fx x
′′ = on écrit :
( ) cos et non ( ) sin
fx xk fx xdx
′′
=− + =∫ puis
()
( ) sin et surtout pas sin
fx xkxk xdxdx
′
=− + + ∫∫ .

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Calcul intégral : méthodes générales
2
1. Intégration par parties
1.1.Théorème et formule d’intégration par parties
De la formule de dérivation du produit de fonctions (fg)’= f’g + fg’ on déduit immédiatement le
théorème suivant.
Théorème. Soit f et g des fonctions de classe C1 sur un intervalle I, alors
a. intégrale définie : pour a et b dans I on a :
() () () () ( ) ( ) () ()
bb
aa
f tgtdt fbgb faga ftg tdt
′′
=−−
∫∫
.
b. intégrale indéfinie :
()() ()() () ()
f xgxdx fxgx fxg xdx
′′
=−
∫∫
.
Attention : La formule d’intégration par parties dans le cas d’une intégrale indéfinie signifie que, si
H est une primitive de fg’, alors fg –H est une primitive de f’g. On doit être prudent quand on
utilise cette méthode : ainsi pour calculer dx
x
∫ si on pose 1
() 1, ()
fx gx x
′== on obtient :
1
dx dx
xx
=+
∫∫
d’où on déduirait l’égalité( ?) 1 = 0.
Ne cherchez pas l’erreur, il n’y en a pas ! La dernière égalité est vraie à une constante près !
1.2. Applications
Pratiquement : Quand faut-il utiliser la méthode d’intégration par parties ?
On doit d’abord écrire la fonction à intégrer sous la forme f ’g (avec éventuellement f ’=1), aussi on
utilise cette méthode principalement dans les cas suivants.
a. La fonction fg’ est, sur le plan de l’intégration, une fonction plus simple que f ’g
le passage de g à g’ doit simplifier, celui de f ’ à f ne pas compliquer.
Exemples
Cas où la fonction à intégrer contient des fonctions comme ln, arctan, arcsin…
Les fonctions ln, arctan , arcsin sont des fonctions dont la dérivée est rationnelle dans le cas de
arctan ou ln, ou fait intervenir une racine carrée d’une fonction rationnelle comme arcsin. Par
exemple quand on recherche une primitive d'une telle fonction, on la pose égale à g et on prend
alors f ’= 1.

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- Calcul de 1
0arctan ,tdt
∫
On pose f’(t) = 1, g(t) = arctan t. On a 2
1
() et () 1 ft t gt t
′
==
+. Ainsi 2
() () 1t ftgt t
′=+ terme qui est
de la forme 2
1 avec 1
2uut u
′=+ d’où :
[]
1
11 1
2
20
00
0
11
arctan arctan ln(1 ) ln 2
142 42
t
tdt t t dt t
t
ππ
=−=−+=−
+
∫∫ .
- Calcul de ln ,( )
n
xxdxnZ
∈
∫
Les fonctions intervenant sont de classe C1 sur
][
0,+∞ .
On pose 1
1
( ) ln et ( ) , d'où, () et 1 () 1
n
nx
gx x f x x g x n fx
xn
+
′′
== =∀≠−=
+, donc
1111
2
1
ln ln ln
111(1)
nnnn
nxxxx
x xdx x dx x k
nxnnn
++++
=− =−+
++++
∫∫ .
Si n = -1, g(x) = ln x et f’(x) = 1/x
2
ln ln
ln
xx
dx x dx k
xx
=− +
∫∫
d'où
2
ln 1 ln
2
xdx x k
x=+
∫.
Cas où la fonction à intégrer est le produit d’un polynôme par une exponentielle ou une
fonction sinus ou cosinus
Exemples
- Calcul de sin ,xxdx
∫
En posant g(x) = x et f ’(x)= sin x on est assuré d’avoir au second membre à intégrer une fonction
circulaire élémentaire.
On a :
sin cos cos cos sinxxdxxx xdxxx xk
=− − − =− + +
∫∫ .
- Calcul de 12
0
t
tedt
∫,
En posant g(t)=t2 et ′
f (t)=eton a au second membre à intégrer le produit d’une exponentielle par
t, on a abaissé le degré du monôme intervenant et on est assuré qu’en procédant à une nouvelle
intégration on aura à intégrer seulement une exponentielle.

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On a :
1
111
22
000
0
1
11
00
0
22 et
1
tt t t
tt t
t e dt t e te dt e te dt
te dt te e dt e e
=− =−
=−=−+
∫∫∫
∫∫
d’où
12
02
t
t e dt e
=−
∫.
b. La formule d’intégration par parties permet d’établir une relation de récurrence
Exemples
Intégrales de Wallis
Ces célèbres intégrales, dont le calcul est lié, on le verra dans le complément, à un calcul de la
valeur approchée de π, sont définies pour n entier (n J 0) par :
2
0sinn
n
Itdt
π
=∫
Le principe de la méthode est simple : on écrit, pour n J 2, sinnt sous la forme sinn-1t sin t , on
pose alors :
-1 2
() sin et ()=sin d'où ( ) cos et ( ) ( 1)cos sin
nn
ft t gt t ft t gt n t t
−
′′
==−=−,
cela conduira, en intégrant par parties, à avoir au second membre à intégrer : 22 cos sinn
tt
− or ,
comme cela est bien connu, on a 22 cos 1 sin
tt
=− , d’où une relation de récurrence.
Il vient donc :
122
22
2
0
00
sin cos sin ( 1) cos sin
nn n
tdt t t n tdt
ππ
π
−−
=− + −
∫∫
.
Avec 22 cos 1 sin
tt
=− et compte tenu que le terme tout intégré est nul, on obtient :
()
2
(1)
nnn
In I I
−
=− − , soit
2
1
nn
n
II
n−
−
=.
On a une récurrence de 2 en 2, d’où des expressions différentes pour n pair ou n impair.
Comme 02 22
21
et
22
pp
p
II I
p
π
−
−
== , on a :
21.3.5....(2 1)
2.4.6......2 2
pp
Ip
π
−
=.

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Comme 121 21
2
1 et 21
pp
p
II I
p
+−
==
+, on a :
21 2.4.6.....2
1.3.5....(2 1)
pp
Ip
+=+.
Complément : Formule de Wallis
Les inégalités 1 0, 0 sin sin
2nn
ttt
π
−
∀∈ ≤ ≤
 entraînent 1
0nn
II
−
≤≤ , donc la suite (In) qui est
strictement positive est décroissante. On a 22 , d'où lim 1
1
nn
n
nn
IIn
In I
−−
→+∞
==
−.
Compte tenu des inégalités 12
nn n
II I
−−
≤≤ qui entraînent 12 1 1 on a lim 1
nn n
n
nn n
II I
II I
−− −
→+∞
≤≤ =.
Ainsi la suite (I2p /I2p+1) a pour limite 1. On a donc :
2
1.3.5.....(2 1) (2 1)
lim 1
2.4.6.......2 2
p
pp
p
π
→+∞
−+
= .
On en déduit une expression de π, comme limite de suite, d’où une possibilité de calcul approché :
2
1 2.4.6....2
lim 1.3.5....(2 1)
p
p
pp
π
→+∞
=
−
valeurs numériques : pour p = 5, on obtient 3,30
pour p = 10, on obtient 3,15.
Relation de récurrence entre les intégrales indéfinies 2 () (1)
nn
dx
Ix x
=+
∫
Pour tout n entier la fonction 21
(1)
n
xx+
$ est continûment dérivable sur R. En posant :
21
() 1 et () (1)
n
fx gx x
′==
+ la formule d’intégration par parties donne :
2
221
() 2
(1) (1)
nnn
xx
Ix n dx
xx
+
=+
++
∫.
On remarque que :
()()()
2
11
222
11
111
nnn
x
xxx
++
=−
+++
, d’où
()
()
1
2
() 2 () ()
1
nnn
n
x
Ix nIx I x
x+
=+−
+.