Limites et équivalents

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Lycée Blaise Pascal TSI 1 année
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Limites usuelles
ln x
x
x→+∞ 0xlnx
x0+0ln(x)
x1
x11ln(1+x)
x
x01
ex
x
x→+∞ +∞ xex
x→−∞ 0ex1
x
x01
De manière plus générale
Soient α,βet γdes réels strictement positifs.
En +∞ :
(lnx)α
xβ
x→+∞ 0et eγx
xβ
x→+∞ +∞
En 0et −∞ :
xα|lnx|β
x00et |x|αeγx
x→−∞ 0
Suite géométrique
an
n→+∞
diverge si a]−∞,1]
0si a]1,1[
1si a=1
+∞ si a]1,+∞[
Comparaison des suites de référence
Soient a>1,α>0et β>0alors :
(lnn)α=o
n→+∞ ³nβ´nβ=o
n→+∞ ¡an¢an=o
n→+∞ (n!)
Équivalents classiques pour les suites
Si un
n→+∞ 0alors :
sinun
n→+∞ untanun
n→+∞ un[1cosun]
n→+∞
u2
n
2
ln(1+un)
n→+∞ un£eun1¤
n→+∞ un£(1+un)α1¤
n→+∞ αun(αR).
Comparaison des fonctions usuelles
Soient α,βet γdes réels strictement positifs.
En +∞ :
(lnx)α=o
x→+∞ ³xβ´et xβ=o
x→+∞ ¡eγx¢
En 0et −∞ :
|lnx|β=o
x0µ1
xαet eγx=o
x→−∞ µ1
|x|α
Équivalents classiques pour les fonctions en 0
ln(1+x)
x0x ex1
x0x
sin x
x0xtan x
x0xshx
x0xthx
x0x
arcsinx
x0xarctanx
x0xargshx
x0xargthx
x0x
cos x1
x0x2
2chx1
x0
x2
2(1+x)α1
x0αx(αR)
De manière plus générale
Si f(x)
xa0alors :
ln¡1+f(x)¢
xaf(x)sin¡f(x)¢
xaf(x)tan¡f(x)¢
xaf(x)
cos¡f(x)¢1
xa¡f(x)¢2
2ef(x)1
xaf(x)¡1+f(x)¢α1
xaαf(x) (αR)
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