Limites et équivalents

Lycée Blaise Pascal TSI 1 année
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Limites usuelles
ln x
x−−−−−→
x→+∞ 0xlnx−−−−−→
x→0+0ln(x)
x−1−−−→
x→11ln(1+x)
x−−−→
x→01
ex
x−−−−−→
x→+∞ +∞ xex−−−−−→
x→−∞ 0ex−1
x−−−→
x→01
De manière plus générale
Soient α,βet γdes réels strictement positifs.
•En +∞ :
(lnx)α
xβ−−−−−→
x→+∞ 0et eγx
xβ−−−−−→
x→+∞ +∞
•En 0et −∞ :
xα|lnx|β−−−→
x→00et |x|αeγx−−−−−→
x→−∞ 0
Suite géométrique
an−−−−−−→
n→+∞
diverge si a∈]−∞,−1]
0si a∈]−1,1[
1si a=1
+∞ si a∈]1,+∞[
Comparaison des suites de référence
Soient a>1,α>0et β>0alors :
(lnn)α=o
n→+∞ ³nβ´nβ=o
n→+∞ ¡an¢an=o n→+∞ (n!)
Équivalents classiques pour les suites
Si un−−−−−−→
n→+∞ 0alors :
sinun∼
n→+∞ untanun∼ n→+∞ un[1−cosun]∼
n→+∞
u2
n
2
ln(1+un)∼
n→+∞ un£eun−1¤∼
n→+∞ un£(1+un)α−1¤∼
n→+∞ αun(α∈R∗).
Comparaison des fonctions usuelles
Soient α,βet γdes réels strictement positifs.
•En +∞ :
(lnx)α=o
x→+∞ ³xβ´et xβ=o
x→+∞ ¡eγx¢
•En 0et −∞ :
|lnx|β=o
x→0µ1
xα¶et eγx=o
x→−∞ µ1
|x|α¶
Équivalents classiques pour les fonctions en 0
ln(1+x)∼
x→0x ex−1∼ x→0x
sin x∼
x→0xtan x∼ x→0xshx∼ x→0xthx∼ x→0x
arcsinx∼
x→0xarctanx∼ x→0xargshx∼ x→0xargthx∼ x→0x
cos x−1∼
x→0−x2
2chx−1∼
x→0
x2
2(1+x)α−1∼
x→0αx(α∈R)
De manière plus générale
Si f(x)−−−−→
x→a0alors :
ln¡1+f(x)¢∼
x→af(x)sin¡f(x)¢∼ x→af(x)tan¡f(x)¢∼ x→af(x)
cos¡f(x)¢−1∼
x→a−¡f(x)¢2
2ef(x)−1∼
x→af(x)¡1+f(x)¢α−1∼
x→aαf(x) (α∈R)