Limites et équivalents

Lycée Blaise Pascal
TSI 1 année
F ICHE : L IMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Limites usuelles
ln x
−−−−−→ 0
x x→+∞
ln (x)
−−−→ 1
x − 1 x→1
x ln x −−−−−→ 0
x→0+
ex
−−−−−→ +∞
x x→+∞
ln (1 + u n )
xe x −−−−−→ 0
x→−∞
∼
n→+∞
£ u
¤
e n −1
un
ln (1 + x)
−−−→ 1
x→0
x
∼
n→+∞
αu n (α ∈ R∗ ).
Comparaison des fonctions usuelles
• En +∞ :
(ln x)α =
De manière plus générale
o
x→+∞
³
xβ
´
xβ =
et
x→+∞
¡ γx ¢
e
µ
¶
o
• En 0 et −∞ :
−−−−−→ 0
et
x α |ln x|β −−−→ 0
et
xβ
¤
£
(1 + u n )α − 1
un
Soient α, β et γ des réels strictement positifs.
ex − 1
−−−→ 1
x→0
x
Soient α, β et γ des réels strictement positifs.
• En +∞ :
(ln x)α
∼
n→+∞
x→+∞
µ
1
x→0 x α
|ln x|β = o
e γx
¶
e γx =
et
1
x→−∞ |x|α
o
−−−−−→ +∞
x β x→+∞
• En 0 et −∞ :
Équivalents classiques pour les fonctions en 0
x→0
|x|α e γx −−−−−→ 0
x→−∞
ex − 1 ∼ x
ln (1 + x) ∼ x
x→0
Suite géométrique
sin x ∼ x
tan x ∼ x
x→0


diverge si a ∈ ]−∞,−1]



0 si a ∈ ]−1,1[
n
a −−−−−−→
n→+∞ 
1 si a = 1




+∞ si a ∈ ]1,+∞[
arcsin x ∼ x
x→0
sh x ∼ x
x→0
Comparaison des suites de référence
x→0
argshx ∼ x
x→0
x2
2
th x ∼ x
x→0
arctan x ∼ x
x→0
cos x − 1 ∼ −
x→0
argthx ∼ x
x→0
ch x − 1 ∼
x2
x→0 2
x→0
(1 + x)α − 1 ∼ αx
(α ∈ R)
x→0
De manière plus générale
Soient a > 1, α > 0 et β > 0 alors :
Si f (x) −−−−→ 0 alors :
x→a
(ln n)α =
o
n→+∞
³ ´
nβ
nβ =
o
n→+∞
an =
¡ n¢
a
o
n→+∞
(n!)
Si u n −−−−−−→ 0 alors :
n→+∞
∼
n→+∞
un
tan u n
∼
n→+∞
un
[1 − cos u n ]
x→a
¢2
¡
¢
¡
f (x)
cos f (x) − 1 ∼ −
x→a
2
Équivalents classiques pour les suites
sin u n
¡
¢
ln 1 + f (x) ∼ f (x)
2
un
∼
n→+∞ 2
¡
¢
sin f (x) ∼ f (x)
¡
¢
tan f (x) ∼ f (x)
x→a
e f (x) − 1 ∼ f (x)
x→a
x→a
¡
1 + f (x)
¢α
− 1 ∼ α f (x)
x→a
(α ∈ R)