Polynômes et Valuation : Cours Fondamental

Les Notions Fondamentales Liées aux Polynômes et à la
Valuation
1. Introduction aux Polynômes
Dénition d'un Polynôme
Un polynôme est une expression mathématique construite à partir de variables,
également appelées indéterminées, et de constantes, appelées coecients. Ces
éléments sont combinés uniquement à travers les opérations d'addition, de
soustraction et de multiplication, avec la condition que les variables soient élevées à
des puissances entières non négatives 1. Cee structure assure une certaine
régularité et permet une manipulation algébrique cohérente. D'un point de vue
algébrique plus abstrait, un polynôme peut être formellement déni comme une suite
de coecients issus d'un anneau commutatif, où seul un nombre ni de ces
coecients est non nul 3. Cee formalisation est essentielle pour l'étude des
polynômes au sein de structures algébriques plus larges, telles que les anneaux de
polynômes.
Il est crucial de distinguer le polynôme en tant qu'objet algébrique formel de la
fonction polynomiale qu'il dénit lorsque la variable est autorisée à prendre des
valeurs dans un domaine spécique 3. Bien qu'étroitement liés, ces concepts sont
distincts, en particulier dans le contexte des corps nis où des polynômes diérents
peuvent dénir la même fonction polynomiale. La forme générale d'un polynôme
univarié en la variable (x) s'écrit typiquement comme
, où les représentent les coecients et (n)
désigne le degré du polynôme 1.
L'évolution de la dénition du polynôme, passant d'une expression intuitive à une
formalisation rigoureuse, témoigne de la progression vers l'abstraction en
mathématiques. Cee abstraction permet une compréhension plus profonde et plus
générale des propriétés des polynômes et de leur comportement dans divers
contextes algébriques. Initialement, la compréhension des polynômes était axée sur
leur comportement fonctionnel. Cependant, avec le développement de l'algèbre, le
besoin d'une dénition axée sur la structure plutôt que sur la simple évaluation est
devenu évident. Cee perspective structurelle est indispensable pour aborder des
sujets avancés tels que les anneaux de polynômes et leurs idéaux. De plus, la nature
des coecients, qu'ils appartiennent à un corps (comme les nombres réels ou
complexes) ou à un anneau plus général (comme les entiers), a une inuence
signicative sur les propriétés algébriques du polynôme et sur les théorèmes qui s'y

appliquent 3. Par exemple, si les coecients proviennent d'un corps, l'anneau de
polynômes possède la propriété de la division euclidienne. Cependant, si les
coecients sont issus d'un anneau, cee propriété peut ne pas être vériée, ce qui
aecte la factorisation et l'existence de racines au sein de cet anneau.
Composantes d'un Polynôme
Les polynômes sont constitués de plusieurs éléments fondamentaux. Les variables, ou
indéterminées, généralement représentées par des leres comme (x, y, z), sont des
quantités abstraites qui ne sont pas considérées comme ayant une valeur spécique 1.
Les coecients sont les facteurs numériques constants qui multiplient les termes
contenant les variables 1. Ces coecients peuvent être des nombres entiers,
rationnels, réels, complexes, ou même des éléments d'autres structures algébriques.
Chaque produit d'un coecient et d'une puissance de la variable (ou d'un produit de
puissances de plusieurs variables) constitue un terme du polynôme 1.
Le degré d'un polynôme en une seule variable est déterminé par la plus haute
puissance de cee variable qui apparaît avec un coecient non nul 1. Pour les
polynômes à plusieurs variables, le degré d'un terme est la somme des exposants des
variables dans ce terme, et le degré du polynôme est le maximum de ces sommes sur
tous les termes. Le coecient principal est le coecient du terme de plus haut degré.
Si le coecient principal est égal à 1, le polynôme est dit unitaire 3. Le terme constant
est le terme de degré zéro, c'est-à-dire le coecient sans aucun facteur variable.
Le degré d'un polynôme est une propriété essentielle qui régit son comportement
général. Il inuence le nombre maximal de racines que le polynôme peut avoir, la
forme de son graphique dans le cas des polynômes réels, et son comportement
asymptotique lorsque la variable tend vers l'inni 10. Un degré plus élevé implique
généralement un comportement plus complexe. Par exemple, un polynôme de degré
(n) peut avoir au plus (n) racines dans un corps. Le terme de plus haut degré, ,
domine la valeur du polynôme pour les grandes valeurs absolues de (x), déterminant
ainsi son comportement aux extrémités.
Types de Polynômes
Les polynômes peuvent être classés de diérentes manières. Selon le nombre de
termes, on distingue les monômes (un terme), les binômes (deux termes), les trinômes
(trois termes), et les polynômes ayant plus de trois termes, qui sont souvent
simplement appelés polynômes 7. Une autre classication importante est basée sur le
degré du polynôme : les polynômes constants (degré 0), les polynômes linéaires
(degré 1), les polynômes quadratiques (degré 2), les polynômes cubiques (degré 3),

les polynômes quartiques (degré 4), et ainsi de suite 8.
La classication des polynômes en fonction du nombre de termes et de leur degré
fournit un cadre utile pour comprendre leur structure et anticiper certaines de leurs
propriétés fondamentales 13. Les types simples, comme les polynômes linéaires, ont
des propriétés bien dénies et directes, par exemple, une seule racine. Les polynômes
de degré supérieur présentent des comportements plus complexes. Cee
classication facilite le choix des techniques appropriées pour l'analyse et la
résolution de problèmes impliquant des polynômes.
2. Propriétés Fondamentales des Polynômes
Opérations Algébriques sur les Polynômes
Les polynômes peuvent être soumis aux opérations algébriques de base. L'addition et
la soustraction de polynômes se font en combinant les termes de même degré,
appelés termes semblables 3. Le degré du polynôme résultant est inférieur ou égal au
maximum des degrés des polynômes initiaux 12. La multiplication de deux polynômes
est réalisée en appliquant la propriété distributive pour multiplier chaque terme du
premier polynôme par chaque terme du second, puis en combinant les termes
semblables 3. Le degré du produit est égal à la somme des degrés des polynômes
d'origine 5. La composition de polynômes consiste à substituer un polynôme dans un
autre 1. Le degré du polynôme composé est le produit des degrés de
5.
La fermeture des polynômes sous l'addition et la multiplication, ainsi que la
satisfaction des axiomes d'anneau (associativité, commutativité, distributivité,
existence d'identités additives et multiplicatives), établissent l'anneau de polynômes
comme une structure algébrique fondamentale 3. Cee structure permet l'application
de théorèmes et de techniques puissants issus de la théorie des anneaux à l'étude
des polynômes. La structure d'anneau fournit un cadre formel pour comprendre
comment les polynômes interagissent sous ces opérations de base. Par exemple,
l'existence d'une identité additive (le polynôme nul) et d'inverses additifs permet la
résolution d'équations polynomiales impliquant l'addition et la soustraction.
Division des Polynômes
À l'instar de la division euclidienne des entiers, la division euclidienne des polynômes
permet de diviser un polynôme (A(x)) par un polynôme non nul (B(x)) pour obtenir un
quotient et un reste tels que , et le degré
de est strictement inférieur au degré de 1. Le quotient et le reste sont

uniques. La division synthétique est une méthode simpliée pour eectuer la division
polynomiale lorsque le diviseur est un polynôme linéaire de la forme (x - a) ou (bx - a)
25. Elle est plus ecace sur le plan computationnel que la division longue dans ces cas
spéciques.
L'analogie entre la division euclidienne des polynômes et celle des entiers souligne
une similitude structurelle profonde entre l'anneau des entiers et l'anneau des
polynômes sur un corps 11. Cee similitude s'étend à des concepts tels que le plus
grand commun diviseur (PGCD) et l'algorithme d'Euclide pour le trouver. L'existence et
l'unicité du quotient et du reste dans la division polynomiale sont cruciales pour
diverses procédures algébriques, telles que la recherche de racines et la factorisation
de polynômes. La condition sur le degré du reste assure la terminaison et l'unicité du
processus de division.
Racines (ou Zéros) des Polynômes
Une racine (ou un zéro) d'un polynôme (P(x)) est une valeur (a) telle que (P(a) = 0) 6.
Trouver les racines d'un polynôme équivaut à résoudre l'équation polynomiale (P(x) =
0). Le théorème du facteur stipule qu'un polynôme (P(x)) a un facteur ((x - a)) si et
seulement si (a) est une racine de (P(x)) 5. Ce théorème établit un lien fondamental
entre les racines et les facteurs linéaires d'un polynôme.
Une racine (a) est dite avoir une multiplicité (ou un ordre) (k) si divise (P(x))
mais ne le divise pas 5. Si (k = 1), la racine est simple ; si (k = 2), c'est une
racine double, et ainsi de suite. Le théorème fondamental de l'algèbre est un pilier de
la théorie des polynômes, armant que tout polynôme non constant de degré (n) à
coecients complexes a exactement (n) racines dans le système des nombres
complexes, en comptant les multiplicités 23. Ce théorème garantit la clôture algébrique
des nombres complexes. Pour les polynômes à coecients réels, les racines
complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées. Si (a + bi) est une racine,
alors (a - bi) est également une racine, avec la même multiplicité 5.
La garantie du théorème fondamental de l'algèbre de l'existence de (n) racines
complexes pour un polynôme de degré (n) est un résultat puissant qui sous-tend une
grande partie de l'algèbre et de l'analyse avancées 23. Il implique que toute équation
polynomiale sur les nombres complexes peut être complètement résolue. Ce
théorème assure que le corps des nombres complexes est algébriquement clos, ce
qui signie que toute équation polynomiale à coecients complexes a une solution au
sein des nombres complexes. Cela n'est pas vrai pour les nombres réels ou les
nombres rationnels. De plus, la relation entre le degré d'un polynôme et le nombre de

ses racines, en particulier en tenant compte de la multiplicité, est fondamentale pour
comprendre la structure et la solvabilité des équations polynomiales 5. Elle dicte le
nombre maximal de facteurs qu'un polynôme peut avoir. Un polynôme de degré (n)
peut être factorisé en au plus (n) facteurs linéaires sur les nombres complexes. La
multiplicité d'une racine correspond à la puissance de son facteur linéaire associé
dans la factorisation complète du polynôme.
Degré du Terme de Plus Bas Degré (Lié à la Valuation)
Le degré du terme non nul de plus bas degré dans un polynôme fournit une mesure
de l'"ordre" du polynôme en (x=0). Pour un polynôme
où et , le degré du terme
de plus bas degré est (k). Si le polynôme est le polynôme nul, le degré est indéni ou
pris comme 4. Par exemple, dans , le terme de plus bas
degré est le terme constant (5) (degré 0). Dans , le terme non nul
de plus bas degré est (-7x) (degré 1). Dans , le terme de plus bas degré
est (degré 3).
Le degré du terme non nul de plus bas degré indique combien de fois le polynôme (et
ses dérivées) s'annule en (x=0). Un degré plus élevé du terme de plus bas degré
implique que le polynôme a un "zéro d'ordre supérieur" à l'origine, ce qui signie que
le graphique est plus plat près de (x=0) (lien implicite avec le concept d'ordre
d'annulation). Si le terme de plus bas degré est , alors
. Cela montre
que les (k-1) premières dérivées s'annulent en zéro.
3. Le Concept de Valuation en Algèbre
Dénition Générale d'une Valuation
En algèbre abstraite, en particulier en théorie algébrique des nombres et en
géométrie algébrique, une valuation sur un corps (K) est une fonction qui fournit une
mesure de la "taille" ou de la "multiplicité" des éléments du corps 41. Elle généralise
des notions telles que l'ordre d'un pôle ou d'un zéro en analyse complexe et la
divisibilité d'un nombre par un nombre premier. Formellement, une valuation est une
application où est un groupe abélien totalement ordonné
(souvent pris comme les entiers ou les nombres réels), et est un élément plus
grand que tout élément de , représentant la valuation de zéro. La fonction (v) doit