Second Degré : Cours sur les Fonctions et Équations du Second Degré

1ère Spé — Lycée Dumont d’Urville — 2024/25 Second Degré — 1/3
Second Degré
Table des matières
1 Fonctions polyômiales 1
1.1 Généralités ................................................ 1
1.2 Cas des fonctions polynômiales de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Équation du second degré 3
1 Fonctions polyômiales
1.1 Généralités
Définition 1.1 : (Fonction polynômiale)
Soit f:R−→ Ret n∈N. On dit que fest polynômiale de degré ns’il existe (ai)0≤i≤n∈Rn+1
où an̸= 0 tel que pour tout x∈R,
f(x) =
n
X
k=0
akxk.
Proposition 1.2 : (Égalité de deux fonctions polynômiales)
Les fonctions x7→ Pn
k=0 akxket x7→ Pp k=0 bkxkpolynômiales de degrés respectifs net dsont
égales si et seulement si n=det pour tout k∈[[0, n]],ak=bk.
Proposition 1.3 : (Racine d’une fonction polynômiale)
Soit f:R−→ Rune fonction polynômiale. Soit a∈R, on dit que aest une racine de fsi
f(a) = 0.
Remarque 1.4 : Parler de la racine d’une fonction est un abus de langage. En toute rigueur, on ne parle de que
racines pour des polynômes — notion hors programme au lycée — ni d’ailleurs des racines d’une équation.
Proposition 1.5 : (Factorisation d’une fonction polynômiale)
Soit f:R−→ Rpolynômiale de degré n∈N∗et aune racine et f. Alors il existe une fonction
polynômiale gde degré n−1telle que pour tout x∈R,f(x) = (x−a)g(x).
Définition 1.6 : (Coefficient dominant et notations)
Soit la fonction polynômiale x7→ Pn
k=0 akxkde degré n∈N. On pose alors cd (f) = anle
coefficient dominant de fet deg (f) = nde degré de f.
Proposition/définition 1.7 : (Fonction polynômiale scindé à racines simples)
Soit f:R−→ Rune fonction polynômiale de degré n∈N∗. Si fadmet nracines distincts on
dit que fest scindé à racines simples. On note ailes racines distincts de fpour tout i∈[[1, n]].
On a alors pour tout x∈R,
f(x) = cd (f)
n
Y
k=1
(x−ak).
Proposition 1.8 : (Formules coefficent-racine)
Soit n∈Net f:x7→ Pn
k=0 akxkune fonction polynômiale de degré n. On note pour tout
i∈[[1, n]] (quitte à en compter certaines plusieurs foix) ailes racines de f. Alors pour tout
k∈[[0, n]] :
ak=an(−1)n−kX
1≤i1<...<in−k≤n
n−k
Y
j=i
aij.

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1.2 Cas des fonctions polynômiales de degré 2
Dans tout ce qui suit f:x7→ ax2+bx +cdésigne une fonction polynômiale du second degré. On pose aussi
les nombres réels α=−b
2aet β=f(α).
Proposition 1.9 : (Forme canonique d’une fonction polynômiale du second degré)
Pour tout x∈R,
f(x) = a(x−α)2+β.
Cette expression est la forme canonique de f.
Remarque 1.10 : Il est important de savoir prouver ce résultat dans des cas pratiques.
Exercice 1.11 : Mettre sous forme canonique x7→ 4x2+ 16x+ 1.
Proposition 1.12 : (Variations d’une fonction polynômiale du second degré)
– Si a > 0on a le tableau de variation suivant :
x
f(x)
−∞ α+∞
−∞−∞
f(α)f(α)
−∞−∞
– Si a < 0on a celui-ci :
x
f(x)
−∞ α+∞
+∞+∞
f(α)f(α)
+∞+∞
Les variations de fne dépendent donc que du signe de son coefficient dominant.
Proposition 1.13 : (Parabole)
La courbe représentative d’une fonction polynômiale du second degré dans un repère orthonor-
mal (O,⃗ i,⃗ j)est par définition une parabole. Le point S(α, f(α)) est le sommet de la parabole
de fdans ce repère.
Exemples 1.14 :
Proposition 1.15 : (Factorisation)
Si fadmet deux racines réelles x1et x2(distinctes ou non) alors pour tout x∈R,
f(x) = a(x−x1)(x−x2).
Exercice 1.16 : Que dire de la fonction x7→ x2+ 1 ?

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2 Équation du second degré
Définition 2.1 : (équation du second degré)
Soit a,bet btrois réels et a̸= 0. L’équation d’inconnue réelle x:ax2+bx +c= 0 est une
équation du second degré.
Notations 2.2 : Dans la suite on considère (E) : ax2+bx +cune équation du second degré.
Définition 2.3 : (Discriminant)
On appelle discriminant de l’équation (E)le nombre b2−4ac qu’on note usuellement ∆.
Proposition 2.4 : (Solutions réelles d’un équation du second degré)
Soit ∆le discriminant de l’équation (E).
– Si ∆>0,(E)admet deux solutions distinctes :
x1=−b−√∆
2aet x2=−b+√∆ 2a.
– Si ∆=0,(E)admet une unique solution :
x0=−b
2a.
– Si ∆<0,(E)n’a pas de solutions réelles.
Remarque 2.5 : Les solutions (E)sont les points d’intersection de l’axe des abscisses et de la parabole reprentant
x7→ ax2+bx +cdans un repère orthonormal.
Remarque 2.6 : Dans la mesure du possible on évite d’utiliser ce résultat. Inutile par exemple de passer par le
discriminant pour résoudre l’équation x2= 9.
Exercice 2.7 : Résoudre l’équation d’inconnue réelle x:2x2+ 7x−3 = −1.
Proposition 2.8 : (Somme et produit des Solutions d’une équation du second degré)
On suppose que de discriminant de (E)est strictement positifs et on note x1et x2les solutions
distinctes de (E). On a les relations :
x1+x2=−b
aet x1x2=c a.
Exercice 2.9 : Résoudre l’équation d’inconnue x∈R:7x2+ 19x+ 12.