Filière Physique Chimie (PC) – Deuxième semestre (S2) _ Cours Analyse
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Chapitre 1 : Les suites
I. Suites réelles convergentes:
❖ La suite est dite
convergente
vers :
.
❖ On notera
ou
;
❖ Si la suite
divergente
.
❖ Si une suite converge sa limite est unique.
❖ Si
alors
(la réciproque est fausse ; prendre ).
❖ Une suite convergente est bornée (la réciproque est fausse ; prendre ).
❖ Opérations sur les limites : soient trois suites réelles.
• Si
et
alors
;
• Si
et
alors
;
• Si
et
(
;
• Si
et ) a.p.c.r alors ;
• Si
,
et si a.p.c.r, alors ;
• Si
et
et si a.p.c.r, alors
gendarmes) ;
• Si
et si est bornée, alors
;
II. Suites réelles de limites infinies:
❖ La suite est dite
divergente
vers si :
.
❖ On notera
ou
;
❖ La suite est dite
divergente
vers si :
.
❖ On notera
ou
;
❖
Propriétés
:
• Une suite divergente vers ;
• Si
alors ;
• Si
alors ;
• Si
alors
.
❖ Opérations sur les limites : soient trois suites réelles.
• Si
et
alors
;
;
;
• Si
et si
;
• Si
et si
;
III. Suites extraites:
❖ Soit la suite et la suite définie par
est dite suite extraite (ou sous-suite) de .
❖ .
❖ Si la suite converge vers , alors toute suite extraite de converge vers .
❖ Si deux suites extraites de , convergent vers deux limites différentes alors la suite est divergentes.
❖ Si les deux suites extraites et convergent vers la même limite , alors la suite
converge vers cette limite.
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IV. Suites réelles Particulières:
❖
Suites monotones:
• Si est une suite croissante, soit elle est majorée et alors elle converge, soit elle est non majorée et alors
elle diverge vers .
• Si est une suite décroissante, soit elle est minorée et alors elle converge, soit elle est non minorée et
alors elle diverge vers .
❖
Suites adjacentes:
• Soient deux suites rée si : est croissante,
est décroissante et
.
• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite et on a : n, .
❖
Suites définies par la relation de récurrence un+1=f(un) :
• Soit f une fonction définie de (D) soit inclus dans D. on dit que D est
stable par .
• On définit la suite en posant : =
().
• Si est croissante, alors est monotone et son sens de variation dépend de la position entre et .
• Si est décroissante, alors et sont monotones de sens contraires. Leur sens de variation
dépend de la position entre et . Les suites et sont récurrentes associées à la fonction
.
• Si est continue et si converge vers alors ( .
•
Exemples
:
➢ Soit la suite définie par :
. diverge vers .
➢ Soit la suite définie par :
. converge vers 0.
➢ Soit la suite définie par : . converge.
➢ Soit la suite définie par :
. Etudier la suite .
V. Comparaisons des Suites:
Définition de suites négligeables: Soient deux suites réelles. On dit que la suite (
un
)
est négligeable
devant
(
vn
) si :
(i) Il existe une suite ( convergeant vers zéro;
(ii) , (on peut aussi écrire a.p.c.r)
On note :
et on lit «
un
est un petit o de
vn
».
Remarque : Si ( converge vers zéro on écrirera
.
Proriétés:
❖ Soient deux suites réelles. On suppose que a.p.c.r . Alors :
(
).
❖ :
Si
alors
et
;
❖ La relation o est transitive : Si
et
;
❖ Si
et
;
❖ Si
et
;
❖ Si
;
❖ Soit et
;
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❖ Remarque : La somme des deux côtés et la composition ne sont pas vraies en général (exemples : on a
et
; on a
❖ (on a appliqué ici la fonction
)
❖ Exemples :
;
et
.
Comparaison des suites de référence :
:
;
;
;
;
Ci- :
❖ Soient alors :
;
❖ Soient alors :
;
❖ Soient alors
;
❖ Soient alors
;
❖ Soient alors
;
❖
.
Définition de suites équivalentes:
Soient deux suites réelles. On dit que la suite (
un
)
est équivalente à
(
vn
) si :
(i) Il existe une suite ( convergeant vers un;
(iii) , (on peut aussi écrire a.p.c.r)
On notera :
Exemples:
•
alors
;
• alors
;
Propriétés:
❖ La relation « être équivalentes »
❖ Soient deux suites réelles. On suppose que a.p.c.r . Alors :
.
❖ Si
et si a.p.c.r alors a.p.c.r .
❖ Soit et
;
❖
Lien entre equivalence et limite
. Soient deux suites réelles alors :
• Si
et si
alors
;
• Si
alors
.
❖
Liens entre équivalence et petit o
:
•
si et seulement si
;
• Si
et si
et
alors :
.
❖ Soient quatre suites réelles telles que :
et
alors :
•
;
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• Si ( ( :
;
• Si ( ( sont strictement positives a.p.c.r alors :
.
Remarque : La somme des deux côtés et la composition ne sont pas vraies en général (exemples : on a
et
; on a
(on a appliqué ici la fonction
)
❖
Equivalents classiques :
Soient suite réelle convergeant vers zéro alors :
Equivalents :
Formules avec les petits o :
Fonctions trigonométriques circulaires
Fonctions trigonométriques circulaires réciproques
Fonctions logarithme, exponentielle et puissance
Fonctions trigonométriques hyperboliques
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VI. Suites complexes:
❖ Définition: Une
suite complexe
est une application
u
: . On représente cette application par .
❖ On étend aux suites complexes nt .
❖ La suite complexe est bornée ssi la suite est majorée (on utilise le module).
❖ La suite complexe est dite
convergente
vers si :
.
❖ La suite complexe converge vers ssi les suites (Re()) et (Im()) convergent vers Re() et Im().
❖ Si
alors
.
❖
Exemple
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