NOM : Lycée Camille Saint-Saëns
Prénom : Spécialité de première
Activité : des droites et des vecteurs
Le plan est muni d’un repère orthonormé (
0;𝚤
⃗
;𝚥
⃗)
Étape 1 : des vecteurs normaux
On considère les droites et vecteurs représentés dans le repère donné ci-dessous :
a) Déterminer les coordonnées du vecteur
𝐴𝐵
*
*
*
*
*
⃗
par lecture graphique.
Que représente le vecteur
𝐴𝐵
*
*
*
*
*
⃗
pour la droite
(𝐴𝐵)
?
b) Déterminer les coordonnées du vecteur
𝑛!
*
*
*
*
⃗
par lecture graphique.
c) Calculer le produit scalaire
𝐴𝐵
*
*
*
*
*
⃗
.𝑛!
*
*
*
*
⃗
Que peut-on en déduire ?
On dit que le vecteur
𝒏𝟏
*
*
*
*
⃗
est un vecteur normal à la droite
(𝑨𝑩)
.
d) Montrer que le vecteur
𝐹𝐺
*
*
*
*
*
⃗
est un vecteur normal à la droite
(𝐴𝐵)
.
e) Citer un autre vecteur normal à la droite
(𝐴𝐵)
. Justifier.
f) Citer un vecteur normal à la droite
(𝐶𝐷)
et un vecteur normal à à la droite
(𝐹𝐺)
. Justifier.
NOM : Lycée Camille Saint-Saëns
Prénom : Spécialité de première
Étape 2
On considère les droites (
𝑑!
) et
(𝑑#)
d’équations respectives :
4𝑥 + 𝑦 + 7 = 0
et
2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
Propriété :
Soit
𝑎,𝑏,𝑐
des réels avec
(𝑎,𝑏) ≠ (0,0)
.
La droite
(𝑑)
d’équation
𝑎𝑥 +𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
admet le vecteur
𝑢
"
⃗
$
−𝑏
𝑎
( pour vecteur directeur.
a) Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur
𝑢!
*
*
*
*
⃗
de (
𝑑!
) puis d’un vecteur directeur
𝑢#
*
*
*
*
⃗
de (
𝑑#
).
b) Soit le vecteur
𝑛!
*
*
*
*
⃗
E
4
1
G. Calculer le produit scalaire
𝑢!
*
*
*
*
⃗
.𝑛!
*
*
*
*
⃗
Que peut-on dire ?
c) Soit le vecteur
𝑛#
*
*
*
*
⃗
E
2
3
G. Montrer que les vecteurs
𝑢#
*
*
*
*
⃗
et
𝑛#
*
*
*
*
⃗
sont orthogonaux.
Que représente le vecteur
𝑛#
*
*
*
*
⃗
pour la droite (
𝑑#
)H?
Étape 3
On donne les points
𝐴(3;−2)
et
𝐵(−5;−4)
. On appelle
𝐼
le milieu de
[𝐴𝐵]
.
a) Calculer les coordonnées du vecteur
𝐴𝐵
*
*
*
*
*
⃗
et du point I.
b) Montrer que la droite (
𝑑!
) est la médiatrice du segment
[𝐴𝐵]
.
c) Soit
𝑀(𝑥;𝑦)
un point du plan. Compléter la phrase
« Le point
𝑀
appartient à la droite
(𝑑1)
si et seulement les vecteurs
𝐴𝐵
*
*
*
*
*
⃗
et
𝐼𝑀
*
*
*
*
*
⃗
sont ………………………….. »
d) A l’aide des réponses précédentes, retrouvez l’équation de la droite
(𝑑1)
.
1
/
2
100%
