Dérivation : Exercices de Maths pour Lycée

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Dérivation : exercices
Les réponses (non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document
Exercice 1 :
Dériver la fonction fdans les cas suivants :
1) f(x) = 4x3+2x23x+1
2) f(x) = 3x24x
2
3) f(x) = (x+1)×(x22)
4) f(x) = (2xx)×(x+4)
5) f(x) = 1
14x
6) f(x) = 3
2x1
7) f(x) = 2x1
3x+2
8) f(x) = 3x24x+1
2x3
9) f(x) = (5x2+1)2
Exercice 2 :
Déterminer une équation de la tangente Tà la courbe représentative de la fonction fau point d’abscisse adans les cas suivants :
1) f(x) = 3x2x+1 avec a=1.
2) f(x) = 2x+1
x2avec a=3.
3) f(x) = x
xavec a=9.
Exercice 3 :
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x2+2x1
x.
On note Csa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Déterminer les abscisses des points de la courbe Coù la tangente est horizontale.
2) Existe t-il des points de la courbe Coù la tangente admet un coefficient directeur égal à 2 ?
3) Déterminer les abscisses des points de la courbe Coù la tangente est parallèle à la droite d’équation y=2
3x5.
Réponses exercice 1 :
1) f0(x) = 12x2+4x3
2) f(x) = 1
2×(3x24x);f0(x) = 1
2×(6x4) = 3x2
3) f0(x) = 1
2x×(x22)+(x+1)×(2x)(forme f g)
1re Série Technologique - Dérivation c
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4) f0(x) = 21
2x×(x+4)+(2xx)×1 (forme f g)
5) f0(x) = (4)
(14x)2=4
(14x)2(forme 1
f)
6) f(x) = 3×1
2x1;f0(x) = 3×(2)
(2x1)2=6
(2x1)2(forme 1
f)
7) f0(x) = 2×(3x+2)(2x1)×3
(3x+2)2=··· =7
(3x+2)2(forme f
g)
8) f0(x) = (6x4)(2x3)2(3x24x+1)
(2x3)2=··· =6x218x+10
(2x3)2(forme f
g)
9) f0(x) = 2×(10x)×(5x2+1) = 20x(5x2+1)(forme f2)
Réponses exercice 2 :
1) T:y=f(1) + f0(1)(x1);f(1) = 3 ; f0(x) = 6x1 ; f0(1) = 5 ; T:y=5x2
2) T:y=f(3) + f0(3)(x3);f(3) = 7 ; f0(x) = 5
(x2)2;f0(3) = 5 ; T:y=5x+22
3) T:y=f(9) + f0(9)(x9);f(9) = 1
3;f0(x) =
1
2x×xx
x2=1
2xx;f0(9) = 1
54 ;T:y=1
54 x+1
2
Réponses exercice 3 :
Rappel : le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse aest égal à f0(a).
La dérivée de fest définie par : f0(x) = (2x+2)x(x2+2x1)
x2=x2+1
x2.
1) La tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul.
On résoud donc l’équation f0(x) = 0. On obtient x=1 ou x=1.
2) Cela revient à résoudre l’équation f0(x) = 2 qui n’admet pas de solutions. Il n’y a donc pas de points répondant à la
question.
3) Les coefficients directeurs de la tangente et de la droite doivent être égaux.
Cela revient donc à résoudre l’équation f0(x) = 2
3. Le calcul donne x=3 ou x=3.
2c
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