Aide-mémoire: Trigonométrie, Dérivation, Intégration

Aide mémoire
Table des matières
1 Trigonométrie 2
2 Dérivation 4
3 Intégration 5
4 Equations différentielles linéaires 7
5 Transformée de Laplace 8
6 Séries de Fourier 10
1

1 Trigonométrie
Relation fondamentale
Pour tout réel x,
cos2x+ sin2x= 1
Formules d’addition
Pour tous réels aet b,
cos(a+b) = cos acos b−sin asin bcos(a−b) = cos acos b+ sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos asin(a−b) = sin acos b−sin bcos a
tan(a+b) = tan a+ tan b
1−tan atan btan(a−b) = tan a−tan b 1 + tan atan b
En posant a=bdans les formules précédentes, on obtient les formules de duplication :
cos 2a= cos2a−sin2asin 2a= 2 sin acos atan 2a=2 tan a
1−tan2a
En utilisant la relation fondamentale cos 2adevient :
cos 2a= 2 cos2a−1 = 1 −2 sin2a
d’où les formules de linéarisation :
cos2a=1 + cos 2a
2sin2a=1−cos 2a 2
Transformation de sommes en produits
cos p+ cos q= 2 cos p+q
2cos p−q 2cos p−cos q=−2 sin p+q 2sin p−q 2
sin p+ sin q= 2 sin p+q
2cos p−q 2sin p−sin q= 2 sin p−q 2cos p+q 2
Transformation de produits en sommes
sin acos b=1
2[sin(a+b) + sin(a−b)]
sin asin b=1
2[cos(a−b)−cos(a+b)]
cos acos b=1
2[cos(a+b) + cos(a−b)]
Expression de sin 2a , cos 2a , tan 2aen fonction de t= tan a
cos 2a=1−t2
1 + t2,sin 2a=2t 1 + t2,tan 2a=2t 1−t2
2

Relations entre fonctions trigonométriques d’arcs associés
Arcs opposés
sin(−a) = −sin a , cos(−a) = cos a , tan(−a) = −tan a
Arcs supplémentaires
sin(π−a) = sin a , cos(π−a) = −cos a , tan(π−a) = −tan a
Arcs complémentaires
sin π
2−a= cos a , cos π 2−a= sin a , tan π 2−a=1 tan a
Arcs différant de π
sin(π+a) = −sin a , cos(π+a) = −cos a , tan(π+a) = tan a
Arcs différant de π
2
sin π
2+a= cos a , cos π 2+a=−sin a , tan π 2+a=−1 tan a
Equations trigonométriques
cos x= cos a⇔(x=a+ 2kπ
x=−a+ 2kπ k∈Z
sin x= sin a⇔(x=a+ 2kπ
x=π−a+ 2kπ k∈Z
tan x= tan a⇔x=a+kπ k ∈Z
Une formule utile en physique
Factorisation de acos x+bsin xoù aet bsont 2 nombres réels non nuls. On pose :
A=√a2+b2; cos ϕ=a
A; sin ϕ=b A
On obtient :
acos x+bsin x=Acos(x−ϕ)
3

2 Dérivation
Tableau des dérivées usuelles
Fonction Dérivée Fonction Dérivée
Cste 0xmmxm−1
ln(x)1
xexex
sin(x) cos(x) cos(x)−sin(x)
tan(x)1
cos2(x)= 1 + tan2(x) arcsin(x)1
√1−x2
arccos(x)−1
√1−x2arctan(x)1
1 + x2
sinh(x) cosh(x) cosh(x) sinh(x)
tanh(x)1
cosh2(x)
où l’on a posé pour tout réel x:
cosh x=ex+e−x
2et sinh x=ex−e−x 2
Règles de dérivation
Les fonctions fet gsont dérivables, λet µsont deux réels quelconques.
Dérivée d’une combinaison linéaire
(λf +µg)0=λf0+µg0
Dérivée d’un produit
(fg)0=f0g+fg0
Dérivée d’un quotient
f
g0
=f0×g−f×g0
g2
Dérivée d’une fonction composée
(g◦f)0(x) = g0(f(x))f0(x)
4

3 Intégration
Primitives utiles
Zxmdx =xm+1
m+ 1 (m6=−1) Z(x−a)mdx =(x−a)m+1 m+ 1 (m6=−1)
Zdx
x= ln |x|Zdx x−a= ln |x−a|
Zsin x dx =−cos xZcos x dx = sin x
Zsinh x dx = cosh xZcosh x dx = sinh x
Ztan x dx =−ln |cos x|Ztanh x dx = ln |cosh x|
Zexdx =exZaxdx =1
ln aax(a > 0et a6= 1)
Zdx
x2+a2=1 aarctan x aZdx x2−a2=1 2aln 
x−a
x+a
Zdx
(x2+a2)2=1 2a3arctan x a+ax x2+a2Zdx
√x2+a2= ln x+√x2+a2
Zdx
√x2−a2= ln x+√x2−a2Zdx √a2−x2= arcsin x
a
Z√x2−a2dx =1
2x√x2−a2−a2 2ln x+√x2−a2
Z√a2−x2dx =1
2x√a2−x2+a2 2arcsin x a
Z√x2+a2dx =1
2x√x2+a2+a2 2ln x+√x2+a2
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