Séries de Fourier - Analyse 4

Université de Sousse A.U. 2021/2022
ESSTHS Analyse 4
Dépt. de Mathématiques LMI2
Chapitre 2 : Séries de Fourier
1 Séries trigonométriques
Définition 1.1 On appelle série trigonométrique, toute série de fonctions de la forme :
a0
2+X
n≥1
[ancos(nx) + bnsin(nx)].
Remarque 1.1 En utilisant les formules d’Euler :
cos(nx) = einx +e−inx
2et sin(nx) = einx −e−inx 2i,
une série trigonométrique a0
2+X
n≥1
[ancos(nx) + bnsin(nx)], s’écrit sous sa forme
exponentielle
c0+X
n≥1
(cneinx +c−ne−inx),
où c0=a0
2et pour tout n∈N∗,cn=an−ibn 2et c−n=an+ibn 2.
Proposition 1.1 Pour tous (n, m)∈Z2,
1
2πZπ
−π
ei(m−n)tdt =1si m =n,
0si m 6=n.
Preuve
Soit (n, m)∈Z2.
•Si m=nalors 1
2πZπ
−π
ei(m−n)tdt =1
2πZπ
−π
dt = 1.
•Si m6=nalors 1
2πZπ
−π
ei(m−n)tdt =1
2π[1 i(m−n)ei(m−n)t]π
−π
=sin((m−n)π)
(m−n)π
= 0.
1

Corollaire 1.1 Soit (n, m)∈N∗×N∗.
1. 1
πZπ
−π
cos(mt) cos(nt)dt =1si m =n,
0si m 6=n.
2. 1
πZπ
−π
sin(mt) sin(nt)dt =1si m =n,
0si m 6=n.
3. Zπ
−π
cos(mt) sin(nt)dt = 0.
Preuve
Soit (n, m)∈N∗×N∗.
1. 1
πZπ
−π
cos(mt) cos(nt)dt =1
4πZπ
−π
(ei(m+n)t+ei(m−n)t+ei(n−m)t+e−i(m+n)t)dt.
En utilisant la proposition prècédente, on obtient que :
1
πZπ
−π
cos(mt) cos(nt)dt =1
4πZπ
−π
(ei(m−n)t+ei(n−m)t)dt =1si m =n,
0si m 6=n.
2. 1
πZπ
−π
sin(mt) sin(nt)dt =−1
4πZπ
−π
(ei(m+n)t−ei(m−n)t−ei(n−m)t+e−i(m+n)t)dt.
En utilisant la proposition prècédente, on obtient que :
1
πZπ
−π
sin(mt) sin(nt)dt =1
4πZπ
−π
(ei(m−n)t+ei(n−m)t)dt =1si m =n,
0si m 6=n.
3. Zπ
−π
cos(mt) sin(nt)dt =1
4iZπ
−π
(ei(m+n)t−ei(m−n)t+ei(n−m)t−e−i(m+n)t)dt.
En utilisant la proposition prècédente, on obtient que :
Zπ
−π
cos(mt) sin(nt)dt =1
4iZπ
−π
(ei(m−n)t−ei(n−m)t)dt = 0.
Proposition 1.2 1. Si (cn)n∈Zest une suite de nombres complexes telle que X
n∈Z
|cn|converge
alors X
n∈Z
cneinx converge normalement sur Rvers S:x7→
+∞
X
n=−∞
cneinx. De plus, pour
tout n∈Z,cn=1
2πZπ
−π
S(t)e−intdt.
2. Si (an)n∈Net (bn)n∈N∗sont deux suites de nombres complexes telles que X
n∈N
|an|et X
n∈N∗
|bn|
convergent alors a0
2+X
n≥1
[ancos(nx) + bnsin(nx)] converge normalement sur Rvers S:
x7→ a0
2+
+∞
X
n=1
[ancos(nx) + bnsin(nx)].
De plus,
∀n∈N, an=1
πZπ
−π
S(t) cos(nt)dt
et
∀n∈N∗, bn=1
πZπ
−π
S(t) sin(nt)dt.
2

Preuve
1. On a X
n∈Z
sup
x∈R
|cneinx|=X
n∈Z
|cn|. D’où la convergence de X
n∈Z
|cn|implique la convergence
normale de X
n∈Z
cneinx sur Rvers S.
Soit n∈Z,1
2πZπ
−π
S(t)e−intdt =1
2πZπ
−π
+∞
X
k=−∞
ckeikte−intdt.
Comme la convergence est normale alors on peut permuter le signe intégral et la somme,
ce qui donne :
1
2πZπ
−π
S(t)e−intdt =
+∞
X
k=−∞
ck1
2πZπ
−π
ei(k−n)tdt.
En appliquant Proposition 1.1, on conclut que : 1
2πZπ
−π
S(t)e−intdt =cn.
2. On a X
n∈N∗
sup
x∈R
|ancos(nx) + bnsin(nx)| ≤ X
n∈N∗
(|an|+|bn|).
D’où la convergence de X
n∈N
|an|et X
n∈N∗
|bn|implique la convergence normale de a0
2+
X
n≥1
[ancos(nx) + bnsin(nx)] sur Rvers S.
Soit n∈N,
1
πZπ
−π
S(t) cos(nt)dt =1
πZπ
−π a0
2+
+∞
X
k=1
[akcos(kt) + bksin(kt)]!cos(nt)dt.
Comme la convergence est normale alors on peut permuter le signe intégral et la somme,
ce qui donne :
1
πZπ
−π
S(t) cos(nt)dt =a0
2πZπ
−π
cos(nt)dt
+
+∞
X
k=1 ak1
πZπ
−π
cos(kt) cos(nt)dt+bk1
πZπ
−π
sin(kt) cos(nt)dt.
En appliquant Corollaire 1.1, on conclut que :
1
πZπ
−π
S(t) cos(nt)dt =an.
Soit n∈N∗,
1
πZπ
−π
S(t) sin(nt)dt =1
πZπ
−π a0
2+
+∞
X
k=1
[akcos(kt) + bksin(kt)]!sin(nt)dt.
Comme la convergence est normale alors on peut permuter le singne intégral et la somme,
3

ce qui donne :
1
πZπ
−π
S(t) sin(nt)dt =a0
2πZπ
−π
sin(nt)dt
+
+∞
X
k=1 ak1
πZπ
−π
cos(kt) sin(nt)dt+bk1
πZπ
−π
sin(kt) sin(nt)dt
=
+∞
X
k=1 ak1
πZπ
−π
cos(kt) sin(nt)dt+bk1
πZπ
−π
sin(kt) sin(nt)dt.
En appliquant Corollaire 1.1, on conclut que :
1
πZπ
−π
S(t) sin(nt)dt =bn.
Remarque 1.2 Soit (cn)n∈Zune suite de nombres complexes et les suites (an)n∈N
et (bn)n∈N∗définies par :
a0= 2c0et pour tout n∈N∗, an=cn+c−net bn=i(cn−c−n).
Ce qui est équivalent à : c0=a0
2et pour tout n∈N∗,cn=an−ibn 2et c−n=an+ibn 2.
(X
n∈Z
|cn|converge (:= X
n∈N
|cn|et X
n∈N
|c−n|convergent)) ⇔(X
n∈N
|an|et X
n∈N∗
|bn|convergent).
2 Coefficients de Fourier et Séries de Fourier
2.1 Préliminaires
Définition 2.1 Soit [a, b]un segment de R.
1. Une application f: [a, b]→Cest dite continue par morceaux sur [a, b], s’il existe une
subdivision {a0, ..., an}de [a, b]où n∈N∗tel que pour tout i∈ {0, ..., n −1},f/]ai,ai+1[
est continue et se prolonge en une fonction continue sur [ai, ai+1].
2. Une application f: [a, b]→Cest dite de classe C1par morceaux sur [a, b], s’il existe une
subdivision {a0, ..., an}de [a, b]où n∈N∗tel que pour tout i∈ {0, ..., n −1},f/]ai,ai+1[
est de classe C1et se prolonge en une fonction de classe C1sur [ai, ai+1].
Remarque 2.1 Soit [a, b]un segment de R.
1. Une application f: [a, b]→Cest continue par morceaux sur [a, b], s’il existe une subdivision
{a0, ..., an}de [a, b]où n∈N∗tel que pour tout i∈ {0, ..., n −1},f/]ai,ai+1[est continue
et admet aux points aipour i∈ {1, ..., n −1}, une limite à droite et une limite à gauche
finies notées respectivement par f(a+
i)et f(a− i)et une limite à droite finie au point a0=a
notée par f(a+)et une limite à gauche finie au point an=bnotée par f(b−).
2. Une application f: [a, b]→Cest de classe C1par morceaux sur [a, b], s’il existe une
subdivision {a0, ..., an}de [a, b]où n∈N∗tel que pour tout i∈ {0, ..., n −1},f/]ai,ai+1[
est de classe C1et admet aux points aipour i∈ {1, ..., n −1}, un nombre dérivé à droite
et un nombre dérivé gauche et un nombre dérivée à droite au point a0=aet un nombre
dérivée à gauche au point an=b.
4

3. Une fonction de classe C1par morceaux n’est pas nécessairement continue.
Exemple 2.1 1. L’application f: [0,2] →R,x7→ x−E(x)est continue par morceaux.
2. Soit f: [−1,1] →R, définie par :
f(x) = (sin( 1
x)si x 6= 0,
0si x = 0.
fn’est pas continue par morceaux.
3. L’application f: [−1,1] →R,x7→ |x|est C1par morceaux.
4. L’application f: [−π, π]→R,x7→ p|x|n’est pas C1par morceaux.
5. L’application f: [0,3] →R,x7→ E(x)est C1par morceaux et non continue.
Proposition 2.1 Soit [a, b]un segment de Ret f: [a, b]→C.
Si fest continue par morceaux sur [a, b]alors fest bornée sur [a, b].
Preuve
fest continue par morceaux sur [a, b]d’où il existe une subdivision {a0, ..., an}de [a, b]où
n∈N∗tel que pour tout i∈ {0, ..., n−1},f/]ai,ai+1[est continue et se prolonge en une fonction
continue sur [ai, ai+1].
Soit i∈ {0, ..., n −1}. On note par gile prolongement par continuité de fsur [ai, ai+1]. La
fonction |gi|est à valeurs réelles et continue sur le segment [ai, ai+1]d’où il existe un réel
Mi≥0tel que : ∀x∈[ai, ai+1],|gi(x)| ≤ Mi.
On considère M= max( max
0≤i≤n−1Mi,max 0≤i≤n|f(ai|). Il est clair que : ∀x∈[a, b],|f(x)| ≤ M.
Ainsi fest bornée sur [a, b].
Proposition 2.2 Soit f:R→Cune fonction 2π- périodique.
1. (f/[0,2π]est continue par morceaux)⇔(∀a∈R, f/[a,a+2π]est continue par morceaux).
2. (f/[0,2π]est C1par morceaux)⇔(∀a∈R, f/[a,a+2π]est C1par morceaux).
Preuve
Soit a∈R.
1. "⇒"
f/[0,2π]est continue par morceaux ⇒Il existe {a0, ..., an}, n ∈N∗,une subdivision de [0,2π],
tel que pour tout i∈ {0, ..., n −1}, f/]ai,ai+1[
est continue et se prolonge en une fonction
continue sur [ai, ai+1]
⇒ {a+a0, ..., a +an}est une subdivision de [a, a + 2π]
tel que pour tout i∈ {0, ..., n −1}, f/]a+ai,a+ai+1[
est continue et se prolonge en une fonction
continue sur [a+ai, a +ai+1]
⇒f/[a,a+2π]est continue par morceaux.
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