Introduction aux probabilités Fichier
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Méthodes numériques cours 643 basé sur le cours de Claire Baribaud [email protected] 2009-2010 Objectifs du cours • Calcul des probabilités ; • Calcul matriciel – Utilisation du logiciel Octave; • Résolution de systèmes d’équations linéaires; • Déterminer et analyser un modèle mathématique à l’aide des régressions linéaires. Méthode pédagogique • Exercices proposés chaque semaine durant le cours • Certains exercices clés sont corrigés en classe • Les autres exercices seront proposés comme devoir • Distribution d’un corrigé Mode d’évaluation • Deux tests écrits facultatifs – 45 minutes – poids : 1 • Epreuve écrite obligatoire – 90 minutes – Poids : 2 Bibliographie • Probabilités, Seymour Lipschutz – Série Schaum • Algèbre linéaire, Seymour Lipschutz – Série Schaum PROBABILITES Notions de base Chapitre 1 : Probabilités • Notions de base; • Mesure de probabilité; • Probabilité conditionnelle; • Théorème de Bayes; • Analyse combinatoire. Probabilités ? • Calcul des probabilité : Science modélisant les phénomènes aléatoires • Modélisation : Simplification d’un phénomène menant à une quantification donc Possibilité de faire des calculs et des « prédictions » Probabilités ? Par exemple le jet d’une pièce Peut être modélisée par les lois de la mécaniques. Mais le modèle serait sans doute trop compliqué, s’il pouvait être mis en évidence, pour nous être utile ! Probabilités • La modélisation du calcul des probabilités a été inventé par A.N. Kolmogorov (1933) • Modélisation dans un espace à trois objets (Ω, A, P) – Ω –A –P : espace des observables : les événements : la probabilité Ω : espace des observables Evénement élémentaire ou issue • Résultat unique d’observation d’un phénomène d’une expérience faite Espace fondamental ou issue • Ensemble de tous les événements élémentaires (ou issues) possibles est l’espace fondamentale Ω ou univers. A : les événements • Un événement est un sous-espace de l’espace fondamental (ω) –AUB –A∩B – A et B incompatibles – Non événement Ā –A⊂B Opérations Union: A = B ∪ C Intersection : A = B • C Complément • Commutativité – A∪B=B∪A – A• B=B• A • Associativité – (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) – (A • B • C = A • (B • C) • Distributivité – (A ∪ B) • C = (A • C) ∪ (B • C) – (A • B) ∪ C = (A ∪ C) • (B ∪ C) • De Morgan – A∪B=A• B – A• B=A∪B Diagramme de Venn P : probabilité • Passage d’une description ensembliste à un modèle quantitatif se réalise par une mesure de probabilité P : probabilité • Une mesure de probabilité P est une application de Ω dans l’intervalle [0, 1] avec les propriétés suivantes : Domaine de définition Evénement certain 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1 A ∩ B = ∅ → P (A U B) = P(A) + P(B) Equiprobabilité • Soit Ω un espace fondamental constitué de N événements élémentaires; • L’équiprobabilité (ou probabilité uniforme) consiste à supposer que tous les événements élémentaires on la même probabilité p P(A) = Nombre de CAS FAVORABLE Nombre de cas possibles = k N Fréquence • Ce n’est pas une probabilité (qui est calculée selon un modèle ); • C’est une proportion d’observations issues d’une répétition d’expériences; • Exemple : On lance 100 fois une pièce bien équilibrée, et il sort 48 faces : – La probabilité de tomber sur « face » est 0.5 – la fréquence d'apparition des « faces » est ici 0.48. Nombre SUCCES f= Nombre de cas possibles Propositions En résumé EXERCICES Série 1 Indépendance • Soit deux événements A et B de Ω • A et B sont indépendant si : P (A U B) = P(A)P(B) • Si A et B ne sont pas indépendants, utilisation de la probabilité conditionnelle pour calculer P (A U B) En résumé Résumé EXERCICES Série 2
