Mécanique I : Manuel de cours

MÉCANIQUE I
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
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UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
(mars 2020)

2
Ce manuel électronique fut utilisé dans le cadre du cours PHQ110 (Mécanique I) à l’Université de Sher-
brooke, à partir de 1994. Il fait partie d’une collection de manuels électroniques diffusés par des pro-
fesseurs du département de physique de l’Université de Sherbrooke. Il a été revisité pour une diffusion
sous licence libre en collaboration avec la fabriqueREL en mars 2020. Il est diffusé sous licence Creative
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L’auteur, David Sénéchal, est professeur titulaire à l’Université de Sherbrooke. Son domaine de re-
cherche est la modélisation numérique des matériaux quantiques. C’est dans un esprit de partage et
de collaboration qu’il a décidé de partager cette ressource éducative libre. La liste de ses publications
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TABLE DES MATIÈRES
1 Introduction historique 7
2 Mouvement d’un point 9
AMouvement en une dimension ....................... 9
BMouvement en trois dimensions ...................... 11
1Vecteurs .............................. 11
2Dérivées d’un vecteur : vitesse et accélération ................. 13
CRotations............................... 18
DRéférentiels .............................. 20
1Changement d’origine ......................... 20
2Changement de référentiel ....................... 21
3Transformation de la vitesse et de l’accélération ................ 22
3 Les lois du mouvement 29
ALes lois du mouvement de Newton ...................... 29
1Les Principia de Newton ........................ 29
2Première loi ............................ 30
3Deuxième loi ............................ 31
4Troisième loi ............................ 32
BSystèmes de particules et centre de masse ................... 33
CGravitation universelle .......................... 35
1Loi de la gravitation universelle ...................... 35
2Champ gravitationnel ......................... 36
3Forces fondamentales et forces macroscopiques ................ 37
4 Applications élémentaires des lois du mouvement 43
ADéterminisme classique ......................... 43
1Équations du mouvement........................ 43
2Solution numérique des équations du mouvement ............... 44
BForces élastiques ou de cohésion ...................... 45
1Loi de Hooke ............................ 45
2Force de contrainte .......................... 46
3Force d’étirement ou tension ...................... 46
4Pendule simple ........................... 47
CPression et principe d’Archimède ...................... 50
1Variation de la pression en fonction de la hauteur ............... 51
2Principe d’Archimède ......................... 52
DFrottement et viscosité .......................... 53
1Coefficients de friction ......................... 53
2Force de viscosité .......................... 54
EMouvement dans un champ magnétique ................... 56
5 Énergie et Travail 71
AConservation de l’énergie en une dimension .................. 71
BConservation de l’énergie en trois dimensions .................. 73
1Forces conservatives ......................... 73
3

4 TABLE DES MATIÈRES
2Forces centrales ........................... 74
CPotentiel gravitationnel.......................... 75
1Potentiel gravitationnel d’un objet sphérique ................. 76
2Force exercée sur un objet sphérique .................... 78
3Potentiel gravitationnel à la surface de la Terre ................ 78
4Énergie potentielle gravitationnelle et centre de masse.............. 78
DÉnergie potentielle et stabilité ....................... 79
ETravail ............................... 81
1Théorème travail-énergie ........................ 82
2Travail et forces non conservatives..................... 82
3Travail et chemin parcouru ....................... 83
4Principe de Bernoulli ......................... 83
FÉnergie de plusieurs objets en interaction ................... 85
1Théorème travail-énergie dans le cas d’un système de particules .......... 86
GConservation de l’énergie et formes d’énergie .................. 87
6 Conservation de la quantité de mouvement 97
ACollisions élastiques ........................... 97
1Collision en une dimension ....................... 98
2Collision en deux dimensions : angle de diffusion ............... 99
3Cas de masses égales .........................102
BThéorème de König et collisions inélastiques ..................103
1Premier théorème de König .......................104
2Variation de l’énergie interne ......................104
CObjets à masse variable ..........................106
DInvariance par translation et conservation de la quantité de mouvement∗........108
7 Mouvement dans un champ de force central 115
AMoment cinétique et loi des aires ......................115
1Moment d’un vecteur .........................115
2Conservation du moment cinétique ....................116
3Loi des aires ............................117
BPotentiel central et orbites.........................119
CProblème de Kepler ...........................121
1Propriétés des coniques ........................123
2Correspondance avec les coordonnées cartésiennes ..............126
DOrbites elliptiques ...........................127
1Troisième loi de Kepler.........................127
2Énergie, moment cinétique et vitesses ...................127
3Équation de Kepler ..........................128
4Éléments d’une orbite .........................128
ELe problème à deux corps .........................130
8 Moment cinétique et rotation des corps 139
AMoment cinétique et centre de masse .....................139
1Absence de couple interne .......................139
2Second théorème de König .......................140
3Couple dans un champ gravitationnel uniforme ................142
4Conservation du moment cinétique ....................142
BInvariance par rotation et conservation du moment cinétique ∗............143
CÉquilibre statique ............................144
DVitesse angulaire ............................145

TABLE DES MATIÈRES 5
ERotation autour d’un axe fixe ........................146
1Théorème de Huygens .........................148
FÉnergie cinétique de rotation ........................150
1Relation entre couple et énergie potentielle..................151
GMouvement de précession.........................153
1Précession des équinoxes ........................155
2Précession des spins nucléaires ......................156
3Résonance magnétique ........................156
HMouvement libre d’un objet rigide∗.....................157
1Matrice d’inertie ...........................157
2Axes fixes à l’objet ..........................158
3Énergie de rotation ..........................158
9 Référentiels accélérés 171
AForces d’inertie ............................171
1Principe d’équivalence .........................172
BRéférentiel tournant ...........................173
1Force centrifuge ...........................174
2Force de Coriolis ...........................175
3Force de Coriolis et systèmes climatiques ..................176
4Marées ..............................178
5Pendule de Foucault .........................180
CMouvement libre d’un rigide : équations d’Euler∗.................181
DLa toupie symétrique : angles d’Euler∗.....................184
1Angles d’Euler ............................184
2Précession uniforme .........................185
3Nutation..............................186
4Toupie dormante...........................187
5Diagramme énergétique et potentiel effectif .................187
10 Relativité restreinte 195
APrincipe de relativité...........................195
1Transformation de Galilée .......................195
BInvariance de la vitesse de la lumière .....................196
1Mesures de la vitesse de la lumière.....................196
2Expérience de Michelson et Morley ....................198
CTransformation de Lorentz ........................199
1Espace-temps et intervalle .......................202
2Intervalle .............................203
3Contraction des longueurs .......................204
4Dilatation du temps ..........................205
5Transformation des vitesses .......................207
DEffet Doppler .............................208
1Effet Doppler non relativiste : source en mouvement ..............208
2Effet Doppler non relativiste : observateur en mouvement ............209
3Effet Doppler relativiste ........................209
4Effet Doppler gravitationnel .......................210
EQuadrivecteurs ............................211
1Invariants .............................212
2Temps propre ............................212
3Quadri vitesse ............................213
FQuantité de mouvement et énergie......................214
1Quadrivecteur impulsion ........................215