Concours commun polytechnique concours 2002 série MP Math 2 I

Concourscommun polytechnique
concours2002 sérieMPMath2
I.Étuded’un exemple
1.SiA=µab
cd¶2M2(R)onaA2=µa2+bcab+bd ac+dcbc+d2¶=(a+d)µab cd¶¡(ad+bc)µ1 0 0 1 ¶.D’où:
A2¡tr(A)A+det(A)I2=¹0
2.D’aprèsle critèredesousalgèbrerappelédanslesujet:
²Pardé…nition,Aestlesous-espace vectorielengendréparI2etAdonc c’estun sous-espace vectorieldeM2(R)
²An’estpasunematrice scalaire(doncn’estpascolinéaireàI2)donc(I2;A)estunefamillelibre etparconséquent
c’estunebasedu R-espace vectorielA
²AcontientI2.
²En…n,Aeststablepourleproduitcarsi(a;b;®;¯)2R4,
(aI2+bA)(®I2+¯A)=(a®¡b¯det(A))I2+(a¯+®b+b¯tr(A))A2A
Aestunesousalgèbrededimension2deM2(R)
3.SiB=aI2+bAle calculprécédentdonneB2=(a2¡b2detA)I2+(2ab+b2trA)A.OnveutB2=¡I2.Onadonc
deuxdécompositionsdeB2danslabase(A;I2).L’existence deB2équivautdoncausystème:
½a2¡b2detA=¡1
2ab+b2trA=0
²Sib=0onaa2=¡1équationimpossibledanslesréels.D’autrepartsib=0onatr(A)2¡4det(A)=
(a+d)2¡4ad=(a¡d)2¸0,contradictoireavec tr(A)2<4det(A)
²Doncon peutsupposerb6=0etlesystème équivautà
½a2¡b2detA=¡1
a=¡b
2trA
ouencoreà(b2³tr(A)2¡4det(A)
4´=¡1
a=¡b
2trA
²Sitr(A)¸4det(A)lapremière équationestimpossible
²Sitr(A)<4det(A)il existedeuxmatricesdeAdontle carrévaut¡I2:
B=§2
p4detA¡(trA)2¡¡¡trA
2¢I2+A¢
¡9B2A;B2=¡I2¢,¡tr(A)2<4det(A)¢
²Remarque5/2 :siBexistele carrédesvaleurspropresdeBvaut¡1.DoncBn’apasdevaleurpropreréeldonc
An’apasdevaleurpropreréel.Lediscriminantdu polynôme caractéristique eststrictementnégatifce quidonne
aussitr(A)2<4det(A):Laréciproquesefaitdetoutefaçon parle calcul.
4.Onsupposequ’il existeB2AtellequeB2=¡I2.
²Bn’estpasunematrice scalaire:carsi9¸2R,B=¸I2alorsB2=¸2I26=¡I2
²donc(I2;B)estunefamillelibredeA.
²Ona alorsdeux vecteurslibresen dimension2.C’estunebasedeA.
Dé…nissonsalorsfcommel’uniqueapplicationlinéaire entrelesR-espacesvectorielsAetCtellequef(I2)=1et
f(B)=i.(fexiste etestuniquepuisquefestdé…niparl’imaged’unebase)
²festun isomorphismed’espacesvectorielscarelle envoieunebasedeAsurunebasedeC.
²f(I2)=1.

²f(MM0)=f(M)f(M0):siM=xI2+yBetM0=x0I2+y0B
MM 0=xx0I2+(xy0+x0y)B+yy0B2=(xx0¡yy0)I2+(xy0+x0y)B
donc
f(MM0)=(xx0¡yy0)f(I2)+(xy0+x0y)f(B)=(xx0¡yy0)+i(xy0+x0y)
et
f(M)f(M0)=(x+iy)(x0+iy0)=(xx0¡yy0)+i(xy0+x0y)
festun isomorphismed’algèbresentreAetC.
5.D’aprèsle calculfaitenquestion3.etAétantnonscalaire,siM=aI2+bA, laconditionM2=0équivautà
½a2¡b2detA=0
2ab+b2trA=0
²Sib=0alorslapremière équation donnea=0
²Sib6=0laseconde équation donnea=¡b
2trAce quireportédanslapremièredonne0=0etbestquelconque.
M=b¡¡¡trA
2¢I2+A¢;b2R
Soitalorsunematrice Mnon nullevéri…antM2=0.unetellematrice estnoninversible,(carsinonM2=0)M=
M2M¡1=0)
An’estpasun corps
6.Parhypothèse,Bestunematrice nonscalairedeM2(R)etil existeP2GL2(R)tellequeB=P¡1AP.
²An’estpasnon plus scalaire(sinonB=P¡1¸I2P=¸P¡1I2P=¸I2)
²(I2;A)estunebasedeA.
Dé…nissonsalorsgcommel’uniqueapplicationlinéairedeAdansBtellequeg(I2)=I2etg(A)=B.
²L’applicationgestalorsbijective carestlinéaire etenvoieunebasedeAsurunebasedeB.
²8M2A,g(M)=P¡1MP:siM=aI2+bA2A,g(M)=aI2+bB=aI2+bP¡1AP=P¡1(aI2+bA)P=P¡1MP
²8(M;M0)2A2:g(M)g(M0)=g(MM 0), :
g(M)g(M0)=P¡1MP P ¡1M0P=P¡1MM0P=g(MM 0)
ce quiachèvedemontrerquegestun isomorphismed’algèbres.
AetBsontdeuxalgèbresisomorphes
7.
a)Rédaction5/2 :
Si(trA)2>4detAlediscriminantdu polynôme caractéristiquedeAeststrictementpositifdoncÂApossèdedeux
racinesréellesdistinctesdoncApossèdedeux valeurspropresréellesdistinctesce qui impliquesadiagonalisabilitévu
queA2M2(R).
a)Rédaction3/2:
SoitÁl’endomorphismedeR2ayantdanslabase canonique(e1;e2)lamatrice A:
Onchercheunebase(c1;c2)danslaquellelamatrice deÁsoitD=µ¸10
0¸2¶.
Sion posec=µx
y¶f(c)=¸céquivautausystème½(a¡¸)x+by=0 cx+(d¡¸)y=0.
Lesystème esthomogèneil existeunesolution non nullesietseulementledéterminantestnon nul .Soit¸2¡tr(A)¸+
det(A)=0.
Parhypothèselediscriminantestnon nuldoncil existedeuxsolutionsréellesdistinctesnotées¸1et¸2.
2

Soitalorsc1non nultelqueÁ(c1)=¸1c1etc2non nultelqueÁ(c2)=¸2c2:Cesdeux vecteursformentun systèmelibre
(doncunebase)car
¸c1+¹c2=¡! 0)¸¸1c1+¹¸2c2=¡! 0
Onretranchealorslapremière équationmultipliée par¸1àlaseconde:¹(¸2¡¸1)c2=¡! 0donc¹=0¢¢¢
b)SoitDmatrice diagonalesemblableàA.D’aprèslaquestion précédente,AestisomorpheàD=VectfI2;Dg.
OrDestisomorpheàl’ensembledesmatricesdiagonales:
²toutematrice deDestdiagonale:évident
²siMestdiagonaleonaM=µa0
0b¶doncM=xI2+yD,½a=x+1y b=x+¸2ysystèmedeCramercar¸16=¸2.
Donc(a;b)existe etM2D.
Dn’estpasun corpscarµ1 0
0 1 ¶estunematrice non nulle etnoninversibledeD.doncparisomorphisme
An’estpasun corps
II.Quelquesrésultatsgénéraux
1.Onvéri…eque
Áa(¸x+¸y)=a:(¸x+¹y)
=a:(¸x)+a:(¹y)pardistributivité
=¸(a:x)+¸(a:y)parlapropriétésupplémentaired’unealgèbre
=¸Áa(x)+¹Áa(y)
²Onvéri…equeÁ¸a+¹b=¸Áa+¹Áb:
Á¸a+¹b(x)=(¸a+¹b):x
(¸a):x+(¹b):xpardistributivité
=(¸a):x+(¹b):x
=¸Áa(x)+¹Áb(x)
²Onvéri…e:Áab=Áa±Áb.
Áa:b(x)=(a:b):x=a:(b:x)parassociativité
=Áa(Áb(x)) =Áa±Áb(x)
²Á1Destl’applicationidentitédeD.
²en…n a¡>Áaestinjective:siÁa=0L(D)alorspourtoutxdeD,a:x=0D.On peutprendrex=1Donen déduit
a=0D
Onen déduitquel’application©:a¡>Áaestun morphismed’algèbresinjectifdeDdansL(D)
Partraductionmatricielleonen déduitqueªestun morphismed’algèbresinjectifdeDdansMn(R)
Destdoncisomorpheàsonimageª(D)
DestisomorpheàunesousalgèbredeMn(R)
2.SiD=Cetz=a+ib,Áz(1)=z=a+ibetÁz(i)=(a+ib)i=¡b+iadoncsiB=(1;i),
MatB(Áz)=µa¡b
ba¶
3.a)SoitA2A½Mn(R)quipossèdeunevaleurpropreréelle¸etn’estpasunematrice scalaire.AlorsA¡¸Inappartient
àA(carAeststableparcombinaisonslinéairesetcontientAetIn),A¡¸Inestnoninversible(carpardé…nitionil
existeun vecteurcolonneVtelque(A¡In)V=(0))etn’estpaslamatrice nulle(carAn’estpas scalaire)ce qui
prouvequeAn’estpasun corps.
b)Toutematrice trigonalisable(afortioridiagonalisable)deMn(R)aun polynôme caractéristiquescindésurRdonc
possèdeaumoinsunevaleurpropreréelle.Parsuite,d’après(a),siAcontientunematrice nonscalairetrigonalisable,
An’estpasun corps.
c)OnsupposeAintègre
SoitA2An f0g.
3

²©A:X7! AXestun endomorphismedeAd’après1.
²ÁAestinjectif:commeAestintègre etAnon nulle,AX=0)X=0etdoncKerÁA=f0g
²ÁAestsurjective comme endomorphismeinjectifd’un espace vectorieldedimension …nie
²il existeB2AtellequeÁA(B)=In.(l’antécédentparÁAdeIn).Lamatrice Apossèdedoncun inverseàdroite,
donc estinversibled’inverseBappartenantàA.
Toutélémentnon nuldeApossèdedoncun inversedansA
Aestun corps
III.L’algèbredesquaternions
1.CommeA2=¡In,ona(detA)2=(¡1)n2R+doncnestpair.
2.Atitredepréliminaireon peutétblirlatablede calculdu produitdes4matricesgénératrices:
1n2InABAB
InInABAB
A A ¡InAB¡B
B B ¡AB¡InA
ABAB B ¡A¡In
²Hestun sousespace vectorielengendrépardé…nition
²HcontientInpardé…nition
²Heststableparproduit:
siM=tIn+xA+yB+zABetM0=t0In+x0A+y0B+z0ABsontdeuxélémentsdeHona aprèscalcul :
MM 0=(tt0¡xx0¡yy0¡zz0)In+(tx+xt0+yz0¡zy0)A+(ty0¡xz0+yt0+zx0)B+(tz0+xy0¡yx0+zt0)AB
Hestunesous-algèbredeMn(R).
3.D’après2.,
(tIn+xA+yB+zAB)(tIn¡xA¡yB¡zAB)=(t2+x2+y2+z2)In
4.a)Si(t;x;y;z)2R4sont telsquetIn+xA+yB+zAB=0alors
(t2+x2+y2+z2)In=(tIn+xA+yB+zAB)(tIn¡xA¡yB¡zAB)=0
donct2+x2+y2+z2=0ce qui, vuquet;x;y;zsontréelsimposet=x=y=z=0.Lafamille(In;A;B;AB)est
donclibre.Comme c’estunefamillegénératrice pardé…nitionc’estunebase.
(In;A;B;AB)estunebasedeH
b)SiMestun élémentnon nuldeHonadoncM=tIn+xA+yB+zABavec (t;x;y;z)2R4n f0gdoncMest
inversibled’inverse1
t2+x2+y2+z2(tIn¡xA¡yB¡zAB)appartenantàHdonc
Hestun corps
5.a)D’aprèslesrèglesde calculdesproduitsdematricesparblocs,
A2=µJ20
0J2¶=¡I4;B2=µ¡I20 0¡I2¶=¡I4
AB+BA=µ0¡J
¡J0¶+µ0J J0¶=0
b)OnatA=µtJ0
0tJ¶=¡AdoncAestantisymétrique.DemêmeBetC=ABsontantisymétrique.
DoncsiM=tIn+xA+yB+zC2H,tM=tIn¡xA¡yB¡zC2Hetd’après3., M:tM=(t2+x2+y2+z2)I4.On
en déduitdoncque(detM)2=(t2+x2+y2+z2)4.SiM6=0,onadoncd’après4.b),
M¡1=1 pjdetMj
t
M
4

IV.Lesautomorphismesdel’algèbredesquaternions
1.Soit(t;x;y;z)2R4etM=tIn+xA+yB+zC,. Ona alorsM+t M=2tIn.
M=¡t M,t=0,M2VectfA;B;Cg
Or(A;B;C)estunefamillelibre carsous-familledelafamillelibre(I4;A;B;C).
(A;B;C)estunebasedeL
Ln’estpasunesous-algèbredeHcar,parexempleA:A=¡I262LalorsqueA2L.
2.SoitM=xA+yB+zCetN=x0A+y0B+z0CdeuxélémentsdeL.Comme(A;B;C)estunebaseorthonormée pour
leproduitscalaire(¢j¢),ona(MjN)=xx0+yy0+zz0.Parailleurs,d’aprèsIII.3.,
MN+NM=(¡xx0¡yy0¡zz0)I4+(yz0¡zy0)A+(¡xz0+zx0)B+(xy0¡yx0)C
+(¡x0x¡y0y¡z0z)I4+(y0z¡z0y)A+(¡x0z+z0x)B+(x0y¡y0x)C
=¡2(xx0+yy0+zz0)I4
Onadoncbien:1
2(MN+NM)=¡(MjN)I4
.
3.
²SiM2L,M2=¸I4avec ¸=¡kMk22R¡.(calculdu 2 avec N=M)
²Réciproquement,soitM=tI4+xA+yB+zC2HtellequeM2=¸I4avec ¸2R¡.Alors,d’aprèsIII.2.,
M2=(t2¡x2¡y2¡z2)I4+2txA+2tyB+2tzC
donc commeonaunebase½tx=ty=tz=0
t2¡x2¡y2¡z22R¡.
Cesconditionsimposentt=0(carsinonx=y=z=0etalorst2¡x2¡y2¡z2=t2>0).DoncM2L.
M2L,9¸2R¡;M2=¸In
4.SoitÁun isomorphismedel’algèbreHdanselle-même.
²SiM2L,onaM2=¡kMk2I4doncÁ(M)2=Á(M2)=¡kMk2Á(I4)=¡kMk2I4.Onen déduitd’après3.que
Á(M)2L.
²DeplusÁ(M)2=¡kÁ(M)k2I4etdonc¡kÁ(M)k2=¡kMk2soitkÁ(M)k=kMk.DoncÁtransformetout
quaternion puren un quaternion purdemêmenorme.
²L’endomorphismeinduitparÁsurLconservelanormedonc c’estun endomorphismeorthogonaldeL.
5.a)SiMetNsontdeux quaternionspursdemêmenorme colinéaires,ona ou bienM=Nou bienM=¡N.
²SiM=Nlamatrice P=I4véri…eP2H,P6=0etM=P¡1NP.
²SiN=¡MlaconditionM=P¡1NPéquivautàPM+MP=0.D’aprèslaquestion2celaéquivautà
(MjN)=0:Ilsu¢tdoncdeprendrepourPunematrice non nulleappartenantàl’orthogonaldeVectfMgdans
L:unetellematrice existebien puisque(VectfMg)?estun planvectorieldeLetsiP2(VectfMg)?n f0g,
PM+MP=¡(PjM)I4=0.
Pétantun élémentnon nuldeHc’estunematrice inversible(Hestun corps)
b)OnsupposequeMetNsontdeux quaternionspursdemêmenorme,noncolinéaires.Alors
M(MN)¡(MN)N=M2N¡MN2=(¡kMk2I4)N¡M(¡kNk2I4)=kMk2(M¡N)
OnadoncM(MN¡kMk2I4)=(MN¡kMk2I4)N.Danscesconditions,sion poseP=MN¡kMk2I4=MN+M2,
ona:
²MP=PN,P2H
5