Les différents systèmes de coordonnées −−→ − − − OM = x→ ux + y → uy + z → uz Coordonnées cartésiennes : x, y, z. → − − → − → Élément de vecteur: dl = dx − u→ x + dy uy + dz uz Élément de volume d3 τ = dx.dy.dz −−→ − − OM = ρ → uρ + z → uz Coordonnées cylindriques : ρ, θ, z. 0 6 ρ, 0 6 θ < 2π → − →ρ + ρdθ− →θ + dz − →z Élément de vecteur: dl = dρ− u u u Élément de volume d3 τ = ρdρ.dθ.dz Coordonnées sphériques: r, θ, ϕ. −−→ − OM = r→ ur 0 6 r, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ < 2π → − →r + rdθ − →θ + rsinθdϕ − Élément de vecteur: dl = dr − u u u→ ϕ Élément de volume d3 τ = r2 sinθdr.dθ.dϕ Attention les angles θ des coordonnées cylindriques et sphériques sont différents. 1 Quelques surfaces élémentaires • Surface élémentaire d’un cylindre de rayon R de hauteur dz , comprise entre θ et θ + dθ (infiniment petit d’ordre 2) : d2 S = Rdθ.dz • Surface élémentaire sur une sphère de rayon R, comprise entre θ et θ + dθ d’une part, ϕ et ϕ + dϕ d’autre part (infiniment petit d’ordre 2) : d2 S = R2 sin(θ).dθ.dϕ 2 Quelques volumes élémentaires • Volume élémentaire compris entre deux sphères de rayons r et r + dr (infiniment petit d’ordre 1) : dV = 4πr2 .dr • Volume élémentaire délimité par un anneau de rayon compris entre r et r + dr, et de hauteur dz (infiniment petit d’ordre 2) : d2 V = 2πrdr.dz • Volume élémentaire délimité par deux cylindres de rayons r et r + dr, et de hauteur h (infiniment petit d’ordre 1) : dV = 2πhrdr 3
