Systèmes de coordonnées : Cartésiennes, Cylindriques, Sphériques

Les différents systèmes de coordonnées
Coordonnées cartésiennes : x, y, z. −−→ OM =x−→ ux+y−→ uy+z−→ uz
Élément de vecteur: −→ dl =dx −→ ux+dy −→ uy+dz −→ uz
Élément de volume d3τ=dx.dy.dz
Coordonnées cylindriques : ρ, θ, z. −−→ OM =ρ−→ uρ+z−→ uz
06ρ, 06θ < 2π
Élément de vecteur: −→ dl =dρ−→ uρ+ρdθ−→ uθ+dz−→ uz
Élément de volume d3τ=ρdρ.dθ.dz
Coordonnées sphériques: r, θ, ϕ. −−→ OM =r−→ ur
06r, 06θ6π, 06ϕ < 2π
Élément de vecteur: −→ dl =dr −→ ur+rdθ −→ uθ+rsinθdϕ −→ uϕ
Élément de volume d3τ=r2sinθdr.dθ.dϕ
Attention les angles θdes coordonnées cylindriques et sphériques sont différents.
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Quelques surfaces élémentaires
•Surface élémentaire d’un cylindre de rayon Rde hauteur dz , comprise entre θet θ+dθ (infiniment petit
d’ordre 2) :
d2S=Rdθ.dz
•Surface élémentaire sur une sphère de rayon R, comprise entre θet θ+dθ d’une part, ϕet ϕ+dϕ d’autre
part (infiniment petit d’ordre 2) :
d2S=R2sin(θ).dθ.dϕ
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Quelques volumes élémentaires
•Volume élémentaire compris entre deux sphères de rayons ret r+dr (infiniment petit d’ordre 1) :
dV = 4πr2.dr
•Volume élémentaire délimité par un anneau de rayon compris entre ret r+dr, et de hauteur dz (infiniment
petit d’ordre 2) :
d2V= 2πrdr.dz
•Volume élémentaire délimité par deux cylindres de rayons ret r+dr, et de hauteur h(infiniment petit d’ordre
1) :
dV = 2πhrdr
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