Comparaison des suites : négligeabilité et équivalence

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Christophe Bertault - MPSI
Comparaison des suites
Grâce à la notion de limite, nous avons pu distinguer le comportement asymptotique des suites d’une façon assez satisfaisante :
selon la valeur de leur limite quand elles en ont une, les suites peuvent être rangées dans des tiroirs différents.
Pourtant nous n’avons pas été assez loin : car par exemple, nous avons mis les suites (n2)n∈Net (2n)n∈Ndans le même tiroir
∞. Or ces suites ont des comportements très distincts : intuitivement l’infini de 2nest bien plus grand que l’infini de n2. On
pourrait donner des exemples analogues en cas de limite nulle.
Comment évaluer la taille d’un infini ou d’un zéro ? Comment comparer deux infinis ou deux zéros ? C’est à ces quelques
questions que nous allons répondre à présent.
1Négligeabilité
1.1 Définition
Définition (Négligeabilité) Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites. On dit que (un)n∈Nest négligeable devant (vn)n∈Ns’il
existe une suite (εn)n∈Nde limite nulle et un rang à partir duquel un=εnvn.
Cette relation se note un=
n→∞ o(vn)et se lit « unest un petit ode vn».
Si (vn)n∈Nne s’annule pas à partir d’un certain rang, dire que un=
n→∞ o(vn)revient à dire que lim n→∞
un
vn
= 0.
En pratique Dans les exercices, on travaillera presque toujours avec des suites qui ne s’annulent pas. C’est donc
la définition particulière « lim
n→∞
un
vn
= 0 » que nous utiliserons.
Explication Puisque lim
n→∞ εn= 0, l’égalité un=εnvnà partir d’un certain rang signifie que unest petit par rapport
àvn, de plus en plus petit à mesure que ngrandit. D’où la terminologie : (un)n∈Nest négligeable devant (vn)n∈N.
Cette notion de négligeabilité est surtout intéressante quand on veut comparer deux infinis ou deux zéros : on peut ainsi dire
que tel infini est plus petit que tel autre, etc.
Exemple n2=
n→∞ o(n4)car lim n→∞
n2
n4= 0.n3=
n→∞ o(n4)car lim n→∞
n3
n4= 0.1 n2=
n→∞ o1
ncar lim
n→∞
1
n2
1
n
= 0.
Attention ! un=
n→∞ o(0) ⇐⇒ un= 0 à partir d’un certain rang.
Or on ne travaille jamais avec la suite nulle — quel intérêt ? C’est pourquoi vous ne rencontrerez certainement jamais l’expression
«un=
n→∞ o(0) » en mathématiques. Banissez-la de vos copies !
1.2 Opérations sur les petits o
Théorème (Opérations sur la négligeabilité) Soient (un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈N,(u0
n)n∈Net (v0 n)n∈Ndes suites et λ∈R.
(i) La multiplication par un réel non nul ne compte pas :
si un=
n→∞ o(vn)et si λ6= 0,alors un= n→∞ o(λvn)et λun= n→∞ o(vn).
(ii) La somme de deux suites négligeables devant une même suite est négligeable :
si un=
n→∞ o(vn)et si u0
n=
n→∞ o(vn),alors un+u0
n=
n→∞ o(vn).
(iii) La relation « être négligeable » est transitive :
si un=
n→∞
o(vn)et si vn=
n→∞
o(wn),alors un=
n→∞
o(wn).
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(iv) Avec le produit, tout va bien : si un=
n→∞ o(vn)et si u0
n=
n→∞ o(v0
n),alors unu0 n=
n→∞ o(vnv0
n).
si un=
n→∞ o(vn),alors unwn= n→∞ o(vnwn).
(v) Si ϕ:N−→ Nest strictement croissante et si un=
n→∞ o(vn), alors uϕ(n)= n→∞ ovϕ(n).
Attention ! Avec les petits o, deux opérations sont formellement interdites.
•Somme des deux côtés : si un=
n→∞ o(vn)et si u0
n=
n→∞ o(v0
n), on n’a pas forcément un+u0 n=
n→∞ o(vn+v0
n).
Par exemple, on a n−1 =
n→∞ o(n2)et 1 = n→∞ o(1 −n2), mais pourtant n= n→∞ o(1).
•Composition : si un=
n→∞ o(vn), on n’a pas forcément f(un) = n→∞ o f(vn).
Par exemple, on a n=
n→∞ o(n2), mais pourtant, si on compose à gauche par x7−→ 1
x,1 n=
n→∞ o1
n2.
Démonstration
(i) Montrons que un=
n→∞
o(λvn). Par hypothèse, il existe une suite (εn)n∈Nde limite nulle et un rang Nà
partir duquel un=εnvn. Alors un=εn
λ(λvn)à partir du rang Net lim
n→∞
εn
λ= 0. D’où le résultat.
Montrons que λun=
n→∞ o(vn). Reprenons les notations précédentes. On a λun= (λεn)vnà partir du rang
Net lim
n→∞
λεn= 0. D’où le résultat.
(ii) Par hypothèse, il existe une suite (εn)n∈Nde limite nulle et un rang Nà partir duquel un=εnvn, ainsi
qu’une suite (ε0
n)n∈Nde limite nulle et un rang N0à partir duquel u0 n=ε0 nvn. Alors un+u0 n= (εn+ε0 n)vn
à partir du rang max N, N 0et lim
n→∞(εn+ε0
n) = 0. D’où le résultat.
(iii) Par hypothèse, il existe une suite (εn)n∈Nde limite nulle et un rang Nà partir duquel un=εnvn, ainsi
qu’une suite (ε0
n)n∈Nde limite nulle et un rang N0à partir duquel vn=ε0 nwn. Alors un= (εnε0 n)wnà partir
du rang max N, N 0et lim
n→∞ εnε0
n= 0. D’où le résultat.
(iv) et (v) Débrouillez-vous. Pour (v), il faut utiliser le théorème sur les limites de suites extraites. 
Nous avons jusqu’ici introduit la notation petit osous sa forme la plus élémentaire (mise en relation de deux suites). Cette
notation existe en réalité sous des formes assez diverses en mathématiques. Par exemple, vous rencontrerez souvent des expressions
du genre « un=
n→∞ vn+o(wn)». En l’occurrence, cette expression signifie simplement que un=vn+xnoù xn= n→∞ o(wn);
bref : unet vnne diffèrent que d’un petit ode wn.
Explication
•Partons de l’affirmation : 1
n+ 1 =
n→∞
1
n−1 n2+5 n3+o1 n2. Peu importe ici pourquoi cette affirmation est vraie.
Grosso modo, cette proposition affirme que lorsque nest assez grand, 1
n+ 1 ≈1 n−1 n2+5 n3. Or une approximation n’a
de sens que si l’on peut mesurer l’erreur commise. Ici il nous est dit que 1
n+ 1 ≈1 n−1 n2+5 n3à un o1 n2près. Le
o1
n2représente le niveau de précision de l’approximation. C’est un peu comme quand on dit que π≈3,14 à10−2près.
•Imaginez justement qu’on vous dise : « πest égal à 3,14012 à 10−2près ». Vous répondrez naturellement : « Pourquoi
ne pas se contenter de l’approximation 3,14, puisqu’on raisonne à 10−2près ? » Et vous aurez raison : raisonner à 10−2
près, c’est négliger tout ce qui est plus petit que 10−2. Ainsi l’approximation π≈3,14 à10−2près est aussi précise que
l’approximation π≈3,141592 à10−2près, bien qu’on ait deux décimales correctes dans un cas et six dans l’autre.
Le même phénomène se produit avec les petits o. Ainsi, puisque 5
n3=
n→∞
o1
n2, la quantité 5 n3est inutile dans la relation
1
n+ 1 =
n→∞
1
n−1 n2+5 n3+o1 n2; nous pouvons donc lui couper la tête et affirmer que 1 n+ 1 =
n→∞
1
n−1 n2+o1 n2.
Cette nouvelle proposition n’est ni plus ni moins précise que la précédente, mais elle est plus lisible.
Vous devez vous habituer à penser les petits ocomme des niveaux de précision ou encore comme des seuils de visibilité, et
penser de vous-mêmes à « nettoyer » les formules que vous écrivez comme nous venons de le faire ci-dessus.
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Théorème (Limites et petits o)Soient (un)n∈Nune suite et `∈R. Alors : lim
n→∞ un=`⇐⇒ un= n→∞ `+o(1).
En particulier : lim
n→∞ un= 0 ⇐⇒ un= n→∞ o(1).
En pratique Il est très important d’avoir en tête le fait qu’un o(1) n’est rien d’autre qu’une suite de limite nulle.
Démonstration
lim
n→∞
un=`⇐⇒ lim
n→∞
un−`
1= 0 ⇐⇒ un−`=
n→∞
o(1) ⇐⇒ un=
n→∞
`+o(1).
1.3 Exemples fondamentaux
Théorème (Exemples fondamentaux de petits o)
(i) Soient α, β ∈Rtels que α < β. Alors nα=
n→∞ o(nβ). (ii) Soient a, b ∈Rtels que 0< a < b. Alors an= n→∞ o(bn).
(iii) Soient α, β ∈Ravec α > 0. Alors ln nβ=
n→∞ o(nα). (iv) Soient a, α ∈Ravec a > 1. Alors nα= n→∞ o(an).
(v) Soit a∈R. Alors an=
n→∞ o(n!).
Explication Ce théorème explique, dans la langue des petits o, que la factorielle est plus infinie que les exponentielles,
que les exponentielles le sont plus que les puissances, qui le sont elles-mêmes plus que les puissances de logarithmes.
Démonstration
(i) Puisque α < β, alors α−β < 0, donc lim
x→∞ xα−β= 0 (résultat sur les fonctions puissances). Par composition,
lim
n→∞ nα−β= 0, i.e. lim n→∞
nα
nβ= 0, i.e. enfin nα=
n→∞ o(nβ).
(ii) Puisque 0< a < b, alors b6= 0 et a
b<1, donc lim
n→∞
a
b
n= 0, et donc an=
n→∞ o(bn).
(iii) Petit exercice. . .
(iv) et (v) Déjà vu : ce sont respectivement la comparaison exponentielles/puissances et la comparaison expo-
nentielles/factorielle. 
Exemple Nous avons déjà montré que lim
n→∞
n!
nn= 0. Par conséquent n! =
n→∞ o(nn).
2Equivalence
2.1 Définition
Définition (Equivalence) Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites.
On dit que (un)n∈Nest équivalente à (vn)n∈Ns’il existe une suite (ηn)n∈Nde limite 1 et un rang à partir duquel un=ηnvn.
Cette relation se note un∼
n→∞ vn.
Si (vn)n∈Nne s’annule pas à partir d’un certain rang, dire que un∼
n→∞ vnrevient à dire que lim n→∞
un
vn
= 1.
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En pratique Dans les exercices, on travaillera presque toujours avec des suites qui ne s’annulent pas. C’est donc
la définition particulière « lim
n→∞
un
vn
= 1 » que nous utiliserons.
Explication Puisque lim
n→∞ ηn= 1, l’égalité un=ηnvnà partir d’un certain rang signifie que unest presque égal à
vn, de plus en plus proche à mesure que ngrandit. D’où la terminologie : (un)n∈Nest équivalente à (vn)n∈N.
Cette notion d’équivalence est surtout intéressante quand on veut comparer deux infinis ou deux zéros : on peut ainsi dire que
deux infinis ont la même taille, i.e. qu’ils ont le même ordre de grandeur, etc.
Exemple n2+n+ 5 ∼
n→∞ n2car lim n→∞
n2+n+ 5
n2= 1.1 n+1 n2∼
n→∞
1
ncar lim
n→∞
1
n+1 n2
1
n
= 1.
Attention ! un∼
n→∞ 0⇐⇒ un= 0 à partir d’un certain rang.
Or on ne travaille jamais avec la suite nulle — quel intérêt ? C’est pourquoi vous ne rencontrerez certainement jamais l’expression
«un∼
n→∞ 0» en mathématiques. Banissez-la de vos copies !
Théorème Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites. un∼
n→∞ vn⇐⇒ un= n→∞ vn+o(vn).
Démonstration Par définition, dire que un∼
n→∞
vnc’est dire qu’il existe une suite (ηn)n∈Nde limite 1 et un
rang Nà partir duquel un=ηnvn. C’est donc dire qu’il existe une suite (εn)n∈Nde limite nulle et un rang Nà
partir duquel un= (1 + εn)vn, i.e. un−vn=εnvn. C’est, enfin, exactement dire que un−vn=
n→∞ o(vn).
Attention ! Les propositions « lim
n→∞
un
vn
= 1 » et « lim
n→∞(un−vn) = 0 » ne sont en aucun cas équivalentes ;
c’est même pire : aucune de ces deux propositions n’implique l’autre. Le théorème précédent nous explique pourquoi : dire que
lim
n→∞(un−vn) = 0, c’est dire que un−vn= n→∞ o(1), et non pas un−vn= n→∞ o(vn).
Par exemple n+ 1 ∼
n→∞ n, mais pourtant (n+ 1) −n−→ n→∞ 0;inversement lim
n→∞
1
n−1 n2= 0, mais pourtant 1 n∼
n→∞
1
n2.
2.2 Opérations sur les équivalents
Théorème (Opérations sur les équivalents) Soient (un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈N,(u0
n)n∈Net (v0 n)n∈Ndes suites.
(i) La relation « être équivalentes » est réflexive : un∼
n→∞ un.
(ii) La relation « être équivalentes » est symétrique : si un∼
n→∞ vn, alors vn∼ n→∞ un.
(iii) La relation « être équivalentes » est transitive :
si un∼
n→∞ vnet si vn∼ n→∞ wn,alors un∼ n→∞ wn.
(iv) Dans les petits o, on peut remplacer toute suite par une suite équivalente :
si un=
n→∞ o(vn)et si u0
n∼
n→∞ unet v0
n∼
n→∞ vn,alors u0
n=
n→∞ o(v0
n).
(v) Deux suites équivalentes ont le même signe à partir d’un certain rang :
si un∼
n→∞
vnet si un>0à partir d’un certain rang, alors vn>0à partir d’un certain rang.
(vi) Avec le produit, tout va bien :
si un∼
n→∞
u0
net si vn∼
n→∞
v0
n,alors unvn∼
n→∞
u0
nv0 n.
(vii) Avec l’inverse, tout va bien :
si un∼
n→∞ vnet si un6= 0 à partir d’un certain rang, alors 1
un∼
n→∞
1
vn
.
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(viii) Avec les puissances, tout va bien :
si un∼
n→∞ vnet si un>0à partir d’un certain rang, alors uα
n∼
n→∞ vα
npour tout α∈R.
(ix) Si ϕ:N−→ Nest strictement croissante et si un∼
n→∞ vn, alors uϕ(n)∼ n→∞ vϕ(n).
Attention ! Avec les équivalents deux opérations sont formellement interdites.
•Somme : si un∼
n→∞ vnet si u0
n∼
n→∞ v0
n, on n’a pas forcément un+u0 n∼
n→∞ vn+v0
n.
Par exemple, n+ 1 ∼
n→∞ net 3−n∼ n→∞ −n+ 1, mais 4∼ n→∞ 1.
•Composition : si un∼
n→∞ vn, on n’a pas forcément f(un)∼ n→∞ f(vn).
Par exemple, n∼
n→∞ n+ ln n, mais si on compose à gauche par x7−→ ex,en∼ n→∞ nen.
Démonstration
(i) Posons ηn= 1 pour tout n∈N. Alors un=ηnunpour tout n∈Net lim
n→∞ ηn= 1, donc un∼ n→∞ un.
(ii) Par hypothèse, il existe une suite (ηn)n∈Nde limite 1 et un rang Nà partir duquel un=ηnvn. Comme
lim
n→∞
ηn= 1, il existe un rang N0à partir duquel ηn>0. Posons alors η0
n= 1 pour tout n < N et η0 n=1
ηn
pour tout n>N. Alors vn=un
ηn
=η0
nunà partir du rang max N, N0et de plus lim
n→∞ η0
n= 1, donc
vn∼
→∞ un.
(iii) Par hypothèse, il existe une suite (ηn)n∈Nde limite 1 et un rang Nà partir duquel un=ηnvn; de même il
existe une suite (η0
n)n∈Nde limite 1 et un rang N0à partir duquel vn=η0 nwn. Posons alors η00 n=ηnη0 npour
tout n∈N. Alors un=ηnvn=ηnη0
nwn=η00 nwnà partir du rang max N, N0et lim
n→∞ η00
n= 1 par produit.
Finalement un∼
n→∞
wn.
(iv) Puisque un=
n→∞ o(vn), il existe une suite (εn)n∈Nde limite 0 et un rang Nà partir duquel un=εnvn.
Puisque un∼
n→∞ u0
n, alors u0 n∼
n→∞ unvia (ii), donc il existe une suite (η0
n)n∈Nde limite 1 et un rang N0à
partir duquel u0
n=η0 nun. Enfin vn∼
n→∞ v0
n, donc il existe une suite (η00 n)n∈Nde limite 1 et un rang N00 à partir
duquel vn=η00
nv0 n. Posons ε00 n=εnη0 nη00 npour tout n∈N. Alors u0 n=η0 nun=η0 nεnvn=η0 nεnη00 nv0 n=ε00 nv0 nà
partir du rang max N, N 0, N 00 , et de plus lim
n→∞ ε00
n= 0, donc u0 n=
n→∞ o(v0
n).
(v) Par hypothèse, il existe une suite (ηn)n∈Net un rang Nà partir duquel un=ηnvn. Comme lim
n→∞
ηn= 1,
ηn>0à partir d’un certain rang N0. Alors unet vnont le même signe à partir du rang max N, N 0, d’où
le résultat.
(vi) Par hypothèse, il existe une suite (ηn)n∈Nde limite 1 et un rang Nà partir duquel un=ηnu0
n; de même il
existe une suite (η0
n)n∈Net un rang N0à partir duquel vn=η0 nv0 n. Posons η00 n=ηnη0 npour tout n∈N. Alors
unvn=ηnu0
n×η0 nv0 n=η00 nu0 nv0 nà partir du rang max N, N0et de plus lim
n→∞ η00
n= 1, donc unvn∼
n→∞ u0
nv0 n.
(vii) à (ix) Au travail ! 
Théorème (Limites et équivalents) Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites.
(i) Si un∼
n→∞ vn, alors soit (un)n∈Net (vn)n∈Nont toutes les deux une limite et lim n→∞ un= lim n→∞ vn, soit aucune de ces
deux suites ne possède de limite.
(ii) Si lim
n→∞ un=`où `est un réel non nul, alors un∼ n→∞ `.
Attention !
•La réciproque de l’assertion (i) est fausse : on peut avoir lim
n→∞ un= lim n→∞ vnsans avoir un∼ n→∞ vn. Ne pas comprendre ceci,
c’est ne rien comprendre à ce chapitre, car justement les équivalents permettent de distinguer des suites qui ont pourtant
la même limite.
Par exemple, lim
n→∞ 2n= lim n→∞
n=∞mais 2n∼
n→∞
n;de même lim
n→∞
1
n= lim
n→∞
1
n2= 0 mais 1 n∼
n→∞
1
n2.
•Quand (un)n∈Npossède une limite, on a lim
n→∞
un+1 = lim
n→∞
un. Cela dit, en général, un+1 ∼
n→∞
un— considérer un= 2n.
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