Cours sur les Matrices : Généralités, Opérations et Déterminants
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Cheikh gueye Ndoye
Année scolaire 2022/2023
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MATRICES
I. Généralités sur les matrices
Définition : Une matrice de taille est un tableau de nombres formé
de lignes et colonnes.
Une telle matrice s'écrit sous la forme :
Les nombres sont appelés les coefficients de la matrice.
Exemple :
est une matrice de taille 2 x 3. (2 lignes et 3
colonnes)
Définition : Une matrice de taille est appelée une matrice carrée
d’ordre n.
A =
est une matrice carrée d’ordre 3.
Remarque : Les coefficients a, e, k de la matrice A constituent la
diagonale principale de A.
Exemple :
est une matrice carrée d’ordre 2.
C =
est une matrice carrée d’ordre 3
Propriété : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même
taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.
Définition : La transposée d’une matrice A, notée tA ou At, est la matrice
obtenue en changeant les lignes de A en colonnes (ou les colonnes en
lignes)
Exemple : A =
a pour transposée tA =
Remarque : t(tA) = A
II. Opérations sur les matrices
1) Somme de matrices
Définition : Soit et deux matrices de même taille.
La somme de et est la matrice, notée , dont les coefficients sont
obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même
position dans et .
Si A = et B = , alors A + B =
Exemple :
Si
et
,
Si A’ =
et B’ =
, C’ = A’ + B’ =
Si E =
et F =
, G = E + F =
=
Remarque :
Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices
de même taille.
Propriétés : Soit , et trois matrices de même taille.
a) Commutativité :
b) Associativité :
c) Transposée d’une somme : t(A + B) = tA + tB
khg fed cba
'
''' '' '''
khg fed cba
''' ''' '''
kkhhgg ffeedd ccbbaa
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2) Produit d'une matrice par un réel
Définition : Soit une matrice et un nombre réel.
Le produit de par le réel est la matrice, notée , dont les coefficients
sont obtenus en multipliant tous les coefficients de par .
Si A = et IR, alors A =
Exemple :
Si
, alors
Si A’ =
, alors B’ = -2A’ =
Si E =
, alors =
Propriétés : Soit et deux matrices de même taille et deux réels et .
a) ; b) ; c)
Exemples :
2A + 5A = (2 + 5)A = 7A ; 5(A + B) = 5A + 5B ; 3(5A) = (35)A = 15A
3) Produit de deux matrices carrées
Définition : Soit et deux matrices carrées de même taille.
Le produit de et est la matrice, notée , dont les valeurs
correspondent au produit linéaire de chaque ligne de la matrice par
chaque colonne de la matrice .
Remarque : faire le produit A×B de deux matrices A et B revient à multiplier
linéairement chaque ligne de la matrice de gauche A par chaque colonne
de la matrice de droite B.
Exemples de la multiplication linéaire d’une ligne par une colonne :
Si A =
et B =
, alors C = AB =
Exemple 1 : Soit
et
, alors :
et
Remarque :
La multiplication des matrices n'est pas commutative :
Exemple 2 : Soit
A = et B = , alors =
=
khg fed cba
khg fed cba
010
211
312
251
036
124
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=
4) Produit de deux matrices quelconques
Soit A et B deux matrices. La matrice produit AB est définie lorsque le
nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Lorsque le produit AB est défini, la matrice AB est obtenue de la même
manière que pour les matrices carrées vues précédemment, et la matrice
obtenue possède le même nombre de lignes que A et le même nombre de
colonnes que B. Exemple
Application 1 : Soit les matrices :
A = ; B = et C =
Calculer les produits suivants lorsqu’ils sont bien définis :
A.B ; B.A ; A.C ; C.A ; A² ; B² ; (tB).A
Propriétés : Soit , et trois matrices carrées de même taille
a) Associativité
b) Distributivité : et
c) t(AB) = tBtA
III. Déterminant d’une matrice carrée
1) Cas d’une matrice carrée d’ordre 2
Soit A =
. Le déterminant de A, noté detA ou |A|,
est le réel : ad – cb.
Exemple :
Soit
.
Le déterminant de A est :
detA =
= = .
2) Cas général : méthode des cofacteurs
Soit A = , alors detA =
= (-1)2 a +(-1)3 b +(-1)4 c
= +a b + c
Remarque : le développement précédent a été effectué suivant la 1ère
ligne de la matrice A. Il pouvait être fait selon n’importe quelle ligne ou
n’importe quelle colonne, à condition de respecter la règle des coefficients
(-1)k (avec k = n°ligne + n°colonne), selon le schéma suivant :
034
312
231
2121
1112
0141
1
2
1
khg fed cba
kh
fe
kg
fd
hg
ed
kh
fe
kg
fd
hg
ed
Déterminant obtenu en
supprimant la ligne et la
colonne de a dans A
Déterminant obtenu en
supprimant la ligne et la
colonne de b dans A
Déterminant obtenu en
supprimant la ligne et
la colonne de c dans A
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;
; ect.
Exemple : Soit A =
En développant suivant la première ligne, on a :
detA =
+2
=
= = = 208
3) Méthode de Sarrus (Matrice carrée d’ordre 3 uniquement)
Soit A =
1ère façon : on répète à droite les 2 premières colonnes, puis on considère
les coefficients des diagonales à 3 éléments vers le haut et vers le bas,
selon le schéma suivant :
detA =
detA =
2ème façon : on répète en bas les 2 premières lignes et on fait le même
processus.
detA =
detA =
Exemple : Soit A =
detA =
detA =
Propriétés :
det(A B) = detA detB
det(tA) = detA.
Application 2 :
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
A = ; B = ;
C =
IV. Inverse d’une matrice carrée
1) Matrice unité ou identité
Définition : On appelle matrice unité (ou matrice identité) de taille la
matrice carrée formée de lignes et colonnes, noté In ou I, avec des 1
sur toute la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
I2 =
est la matrice carrée unité d’ordre 2.
I3 =
est la matrice carrée unité d’ordre 3.
Propriété : Pour toute matrice carrée de taille :
Pour tout entier n ≥ 2 : det(In) = 1
121
112
211
794
162
131
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Exemple :
Soit
alors :
2) Matrice inverse
Définition : Une matrice carrée de taille est une matrice inversible s'il
existe une matrice telle que .
La matrice , notée , est appelée la matrice inverse de .
Définition 2 : La matrice inverse de A est la matrice notée A-1, si elle existe
telle que A
Théorème : Une matrice est inversible si, et seulement si, .
3) Détermination d’une matrice inverse :
1ère méthode : méthode des cofacteurs
Si A est inversible, alors A-1 =
t à où à est la matrice des
cofacteurs de A.
N.B. : Dans une matrice, le cofacteur d’un élément est le nombre :
(-1)kmultiplié par le sous déterminant obtenu en supprimant la ligne
et la colonne de l’élément).
Rappel : les coefficients (-1)k suivent la règle schématique suivante :
;
Exemple 1 : calcul de la matrice des cofacteurs de A.
Soit A =
=
(matrice des cofacteurs de A)
Exemple 2 : détemination de la matrice inverse de A
Soit A =
detA = 6
=
Transposée de (ou adjointe de A): t =
A-1 =
t à =
=
A-1 =
6
1
/
6
100%
