2024 2025- TD AnalyseI-MPCI-1

Université Nazi BONI UFR-SEA/MPCI-L1-S1
Année Académique 2024-2025
Travaux dirigés d’Analyse I
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Fonctions usuelles
Exercice 1
1. (a) Donner les conditions sur la dérivation ainsi que la formule de la dérivée de la
réciproque d’une fonction fen un point y0.
(b) Calculer dans ce cas les dérives des fonctions circulaires réciproques.
2. Donner en justifiant l’expression logarithmique de argsh(x).
3. Montrer que pour tout x∈R∗,arctan x+ arctan 1
x=π 2sgn(x).
Exercice 2
Soit hla fonction définie par h(x) = argch(4x3−3x).
1. Déterminer le domaine de définition de h.
2. Montrer que ∀x∈]1; +∞[,h0(x)=3argch0(x).
3. Donner une écriture simplifiée de h(x)sur son domaine de définition.
Exercice 3
1. Les réels xet yétant liés par x= ln tan y
2+π 4,calculer chx, shxet thxen
fonction de y.
2. Démontrer que pour tout ∀k∈N∗Argth 1
k2+ 3k+ 1=Argth 1 k+ 1−Argth 1 k+ 2.
En déduire la limite quand ntend +∞de Sn=
n
X
k=1
Argth 1
k2+ 3k+ 1.
Exercice 4
Soit fla fonction définie par : f(x) = arcsin(2x√1−x2)
1. Quel est l’ensemble de définition de f?
2. En posant x= sin t, simplifier l’écriture de f.
Exercice 5
1. Étudier selon les valeurs des paramètres réels aet b, le nombre de solutions dans R2
du système shxshy=a
chxchy=b
2. Résoudre dans R2le système x=ch2y
3 ln x= 2 ln( chy)
Exercice 6
Résoudre dans Rles équations suivantes :
1. 2shx+chx= 5.
2. argchx=argsh(2 −x).
3. chx = 2,
4. 2Arcsin x =Arcsin(2x√1−x2).
5. arctan(2x−1) + 2arctan(q1−x
x) = π 2.

Exercice 7
Simplifier dans Rles expressions suivantes
1. ch(ln(x+px2+ 1)),
2. arctan 1−x
1+x.
3. arctan q1−x
1+x.
4. arctan x−√1−x2
x+√1−x2.
5. arctan √x2+1−1
x+ arctan√1 + x2−x.
6. arctan 1
2x2−arctan x
x−1+ arctan x+1 x.
Exercice 8
Étudier et représenter graphiquement la fonction :
1. f(x) = arcsin r1 + sin(2x)
2!
2. g(x) = arsin cos x+arccos sin x
3. h:x7→ arcsin1−x2
1 + x2+arccos 2x 1 + x2.
4. p:x7→ arctan x
1 + x+arctant x x−1+arctant(2x).
Suites numériques
Exercice 9
1. Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes, en justifiant les réponses :
(a) Si (un)n∈Nconverge et (vn)n∈Ndiverge alors (un+vn)n∈Ndiverge.
(b) Si (un)n∈Nconverge et (vn)n∈Ndiverge alors (un.vn)n∈Ndiverge.
(c) Si (un)n∈Nn’est pas bornée alors elle n’est pas de Cauchy.
(d) Si (un)n∈Ndiverge alors lim(un+1 −un)6= 0.
2. Répondre par "vrai" ou "faux" et accompagnez votre réponse d’une démonstration
détaillée au cas "vrai" et d’un contre-exemple détaillé au cas "faux".
(a) "toute suite bornée est convergente",
(b) "l’ensemble {−n+√2|n∈N}a une borne supérieure".
(c) "Une suite extraite d’une suite extraite d’une suite unn∈Nest extraite de
unn∈N"
3. Soit (un)n∈Nune suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes :
(a) Si (un)nconverge vers un réel `alors (u2n)net (u2n+1)nconvergent vers `.
(b) Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de (un)n.
(c) Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, de même limite `, il en est de même
de (un)n.
Exercice 10
Soient (un)et (vn)deux suites réelles convergeant respectivement vers let l0.
1. On suppose que l=l0. Montrer que la suite (min(un, vn)) converge vers l= min(l, l0).
2. On suppose que l < l0.
(a) Montrer qu’il existe un entier n0tel que, pour tout n≥n0, on a un≤vn.
(b) En déduire que la suite (min(un, vn)) converge vers l=min(l, l0).
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Exercice 11
1. Soit (un)n∈Nune suite réelle. Traduire à l’aide de quantificateurs les assertions sui-
vantes :
(a) La suite (un)n∈Ndiverge vers −∞.
(b) La suite (un)n∈Nne converge pas vers 2.
2. Soit (un)et (vn)deux suites réelles convergeant respectivement vers `et `0. On
suppose `06= 0.
En utilisant la définition de la convergence d’une suite :
(a) Montrer qu’il existe un rang n0à partir duquel tous les vnsont non nulles.
(b) Montrer que la suite un
vnconverge vers ` `0.
3. Soit (un)une suite convergente, la suite un
1 + |un|n
est-elle convergente ?
4. Soit (un)une suite réelle et croissante. Montrer que (un)converge si et seulement si
(un)est une suite majorée.
Exercice 12
1. Montrer que la suite unn≥1, définie par un=
n
X
k=1
1
k2converge.
2. Calculer les limites des suites définies par leur terme général un:
a)un=
2n+1
X
k=1
1
√n2+kb)un=n!
nn
3. Montrer que les suites (un)et (vn), définies pour n≥2par :
un=
n−1
X
k=1
1
k2(k+ 1)2,et vn=un+1
3n2sont adjacentes.
4. Étudier la convergence de la suite : 1
n
n−1
P
k=0
cos 1
√n+k.
5. En utilisant la définition de la limite d’une suite montrer que :
(a) lim
n→+∞(√n+ 1 −√n)=0; (b) lim n→+∞
2
n2= 0 ; (c) lim
n→+∞
2n2+ 3
n2+ 1 = 2.
6. Déterminer les limites suivantes : (a) lim
n→+∞1 + 1
nn
; (b) lim
n→+∞
3n
n!.
7. Soit les deux suites (vn)n∈N∗et (wn)n∈N∗définies par
vn=
2n
X
k=1
(−1)k
k!et wn=
2n+1
X
k=1
(−1)k
k!.
(a) Étudier la monotonie des deux suites (vn)n∈N∗et (wn)n∈N∗
(b) On pose : (un)n∈N/un=
n
X
k=1
(−1)k
k!. En utilisant ce qui précède, étudier la
nature de la suite (un)n∈N∗.
Exercice 13
Soit (un)une suite à termes strictement positifs ; on suppose que un+1
una pour limite l
quand ntend vers +∞.
1. Montrer que (n
√un)tend aussi vers l.
2. En déduire les limites des suites de termes généraux suivants :
1
n
n
p(n+ 1)(n+ 2) ···(2n−1) et n
s(n!)2
(2n+ 1)!.
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Exercice 14
Soit (xn)la suite (réelle ou complexe) convergente de limite x.
On définit une suite (sn)par sn=1
n+ 1
n
X
k=0
xk.
On suppose que x= 0.
1. Montrer que snconverge vers 0.
2. Montrer dans le cas général que snconverge vers x.
3. Si la suite snconverge, est-il vrai que la suite (xn)converge aussi ?
4. Soit unune suite de nombres réels telle que : lim
n→+∞un+1 −un=l.
Montrer que lim
n→+∞
un
n=l.
5. Déterminer lim
n→+∞((n!)1/n).
Exercice 15
Donner l’expression du terme général des suites récurrentes (un)suivantes :
1. un+2 = 3un+1 −2un, u0= 3, u1= 19.
2. un+2 = 4un+1 −4un, u0= 1, u1= 0.
3. un+2 =−un+1 −un,u0= 1, u1=−1.
4. un+2 =−un+1 −1
4un,u0=u1= 1.
5. un+1 =−3un+ 1,u0∈R.
6. un+1 =1
2un+ 1,u0= 1.
Exercice 16
Soit (un)la suite définiepar un=1 + a
nn,aveca∈R+.
1. Montrer que la suite (un)est croissante.
2. Montrer que pour tout t≥0,t
t+ 1 ≤ln(t+ 1) ≤t
3. En déduire que pour tout n∈N,an
n+a≤ln(un)≤a
4. Montrer que la suite (un)es convergente.
5. Quelle résultat a-t-on pour a= 1
Exercice 17
On définit une suite (sn)par sn=
n
X
k=1
1
√k
1. Justifier que 1
√n+ 1 ≤2(√n+ 1 −√n)≤1 √n
2. Déterminer la limite de la suite (sn)
3. On pose un=sn−2√n. Montrer que la suite (un)converge.
4. Donner une équivalence simple de (sn).
Limites-Continuité-Dérivabilités
Exercice 18
Calculer les limites suivantes
1. lim
x→eln x−1)(ln(x−e)
2. lim
x→+∞x−ln(chx)
3. lim
x→+∞x+ 1
x−3x
4. lim
x→+∞e−xch3x−sh3x
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5. lim
x→0+
x+ 2
x2ln x
6. lim
x→0+2xln(x+√x)
7. lim
x→0+(1 + x)ln x
8. lim
x→+∞
xpln(x2+ 1)
1 + ex−3
9. lim
x→α
xn+1 −αn+1
xn−αn
10. lim
x→0xE 1
x
11. lim
x→+∞
ex−ex2
x2−x
12. lim
x→1x2+x−2tan πx
2
13. lim
x→0
x−E(x)
p|x|
14. lim
x→+∞xqx+√x+ 1−qx+√x−1
15. lim
x→−∞
2
x+ 1 lnx3+ 4 1−x2
16. lim
x→+∞
x3−2x2+ 3
xln x
17. lim
x→+∞
(x+ 1)x
xx+1
18. lim
x→+∞
x(xx−1)
x(xx)
19. lim
x→2
ex−e2
x2+x−6
20. lim
x→+∞
x4
1 + xαsin2x, α ∈R
Exercice 19
1. Écrire les définitions des limites suivantes :
lim
x→−∞ f(x) = l, l ∈R; lim x→−∞ f(x)=+∞; lim
x→x0
f(x) = −∞, x0∈R.
(On précisera sur quel type d’intervalle la fonction fdoit être définie.)
2. (a) Énoncer le théorème des valeurs intermédiaire.
(b) Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle néces-
sairement continue ?
3. (a) Énoncer le Théorème des accroissements finis.
(b) Soit fune fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Montrer qu’il y a
équivalence entre :
i. fest croissante,
ii. f0(x)≥0∀x∈I.
4. Soit fl’application définie sur Rpar 
f(x) = exsin x−cos(2x)
xsi x6= 0,
f(0) = 0.
Étudier la continuité et la dérivabilité de fen 0 et calculer f0(0).
Exercice 20
1. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (On justifiera chaque réponse
fausse).
(a) L’image par une fonction continue d’un intervalle ouvert est un intervalle ou-
vert.
(b) L’image par une fonction continue d’un intervalle fermée est un intervalle fer-
mée.
(c) L’image par une fonction continue d’une partie bornée est une partie bornée.
(d) L’image réciproque par une fonction continue d’un intervalle est un intervalle.
2. Montrer que l’équation x3+x2−4x+1 = 0 admet au moins trois solutions distinctes
dans R.
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