Mécanique des fluides 223P

ÉCOLE POLYTECH NIQ U E
FÉDÉRALE DE LA USAN NE
Christophe Ancey
Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)
École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Écublens
CH-1015 Lausanne
Notes de cours
Mécanique des fluides
Une introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils
version 8.7 du 29 mai 2013

TABLE DES MATIÈRES 1
Table des matières
1 Propriétés des fluides 9
1.1 Définition physique d’un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Étatsdelamatière.................................. 9
1.1.2 Matière divisée : dispersions, suspensions, émulsions . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Définition rhéologique d’un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Viscositédesfluides ..................................... 16
1.3.1 Manifestation à l’échelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Originephysique ................................... 16
1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Tensiondesurface ...................................... 20
2 Similitude 27
2.1 Analyse dimensionnelle et théorie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Unitésdemesure....................................... 28
2.3 Principaux nombres adimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Théorème de Vaschy-Buckingham ou théorème Π..................... 31
2.4.1 Théorème de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 MéthodedeRayleigh................................. 33
2.4.3 Application no1 du théorème Π: force de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4 Application no2 du théorème Π: puissance d’une explosion nucléaire . . . . . . 36
2.4.5 Application no3 du théorème Π: loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Analyse dimensionnelle et équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Similitudeeningénierie ................................... 41
2.6.1 Généralités ...................................... 41
2.6.2 Similitude en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.3 Courbemaîtresse................................... 42
3 Statique des fluides 45
3.1 Origine physique de la pression dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Loidel’hydrostatique .................................... 46
3.2.1 LoidePascal..................................... 46
3.2.2 Principed’Archimède ................................ 48
3.2.3 Calcul des forces de pression en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Mesuredelapression .................................... 49

2TABLE DES MATIÈRES
4 Équations de bilan 51
4.1 Théorèmesdetransport ................................... 51
4.1.1 Vuegénérale ..................................... 51
4.1.2 Théorème de transport en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.3 Généralisation et théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.5 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.6 Conservation de l’énergie, théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Quelques applications du théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 FormuledeTorricelli................................. 66
4.2.2 Intrusion d’un courant de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.3 TubedePitot..................................... 67
5 Écoulement à surface libre 69
5.1 Introduction.......................................... 69
5.1.1 Généralités ...................................... 69
5.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Hydrauliquedescanaux ................................... 85
5.2.1 Charge totale et charge spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.2 Courbes de remous obtenues par l’équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Régimepermanentuniforme................................. 91
5.3.1 Relation d’équilibre pour un régime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.2 Loidefrottement................................... 92
5.3.3 Justificationphysique ................................ 95
5.3.4 Hauteur normale selon la section d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Régime permanent non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.1 Canallarge ...................................... 102
5.4.2 Canalquelconque................................... 102
5.4.3 Classification des régimes d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4.4 Résolution....................................... 105
5.5 Courbes de remous et écoulement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.1 Hauteur critique et régimes associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.2 Ressauthydraulique ................................. 107
5.5.3 Conjugaison d’une courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5.4 Effetd’unobstacle.................................. 117
6 Écoulements laminaires et turbulents 123
6.1 Équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 Basesthéoriques ................................... 123
6.1.2 Forme générique des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Base phénoménologique du comportement newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

TABLE DES MATIÈRES 3
6.3 Adimensionalisation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.1 Choixdeséchelles .................................. 128
6.3.2 Régimesd’écoulement ................................ 129
6.4 Méthodes de résolution des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4.1 ExpériencedeNewton................................ 131
6.4.2 ExpériencedeTrouton................................ 133
6.5 Écoulements dominés par la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5.1 Sédimentation .................................... 138
6.5.2 Écoulement dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5.3 Effetcoind’huile................................... 141
6.6 Couchelimite......................................... 144
6.6.1 Définition....................................... 144
6.6.2 Équation de la couche-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6.3 ÉquationdeBlasius ................................. 146
6.7 La turbulence ou les limites du modèle newtonien (laminaire) . . . . . . . . . . . . . . 148
6.8 Moyenne des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.9 Problèmedefermeture.................................... 155
6.10 Exemple d’application : écoulement sur un plan incliné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7 Écoulements turbulents en charge 163
7.1 Introduction.......................................... 163
7.2 Écoulement permanent uniforme lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.1 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.2 Phénoménologie ................................... 165
7.2.3 Zonelogarithmique.................................. 165
7.2.4 Zonecentrale..................................... 167
7.2.5 Synthèse........................................ 167
7.3 Écoulement permanent uniforme rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.1 Équations du mouvement ; effet de la rugosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.2 Calcul du débit pour des canalisations rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4 Dissipation d’énergie dans les conduites en régime établi . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.1 Bilan d’énergie en régime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.2 Bilan d’énergie en régime turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5 Pertes de charge singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.5.1 Problématique .................................... 177
7.5.2 Principales formules de perte de charge singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.6 Application .......................................... 179
7.6.1 Vidanged’unbarrage ................................ 179
Annexe 181
A Rappels de mathématiques 183