développement

Condition a limites :
Les constantes d’intégration se déterminent par les conditions aux limites.
Écoulement parfait :
◦ équation du premier ordre pour la pression et la vitesse. Il faut donc deux conditions aux
limites.
◦ première condition : la composante de la vitesse perpendiculaire est continue lors de la
traversée d’une interface.
◦ deuxième condition : la pression est continue à la traversée d’une interface fluide-fluide dans
le cas où l’on néglige la capillarité ; sinon il faut appliquer la formule de Laplace (voir chapitre
6).
Écoulement visqueux :
Il s’ajoute deux conditions supplémentaires :
◦ pour un fluide visqueux une discontinuité de vitesse tangentielle entraîne une contrainte
infini. La composante tangentielle doit donc être continu. Par exemple sur un obstacle fixe dans
un fluide visqueux, la vitesse d’écoulement sur la paroi doit être nulle.
◦
la composante tangentielle de la contrainte est continue entre deux fluides (elle est
quelconque pour une interface liquide solide)
Méthodes pour modéliser la turbulence : Equations de Reynolds RANS :
Soit, la décomposition :
Equations de Reynolds : RANS
Tenseur de contraintes moyennes
Tenseur de Reynolds, avec l’hypothèse de Boussinesq
(Eq mvt (inst) – Eq mvt (moy)) * fluctuation => Equation de transport des contraintes ou
équation de transport des tensions de Reynolds :
En faisant de même avec eq.Ec, on obtient équation de transport de l’Ec Turbulente :
Estimation de la visc turbulence :
1) Modèles du premier ordre :
Equations de Reynolds + hypothèses sur longueur de mélange ou 1 ou 2 équation(s) de
transport.
Informations possibles : champs moyens simples et quelques grandeurs de la turbulence.
2) Modèles du second ordre :
Equation de Reynolds + équations tension de Reynolds + modèles de fermeture 2ième
Ordre
Informations : champs moyens + moment d’ordre 1, 2
Choix de l’algorithme :
Basée sur le modelé de résolution de A*u=f
Il y a plusieurs méthodes parmi les :
•
Méthodes directe (Pivot de Gauss, décomposition LU, réduction cyclique …)
•
Méthodes itérative (Jacobi, SOR, Gradient Conjugué, ADI, Multi grille …)
•
Méthodes de résolution des équations couplées ()
•
Méthodes de résolution d’un système non linéaire (Méthode de Newton)
•
Autres (méthode de linéarisation par l’approche de Picard)
On va choisir : Méthodes itérative (Jacobi, SOR, Gradient Conjugué, ADI, Multi grille …)
Soit une équation différentielle ordinaire du premier ordre, que l’on souhaite intégrer :
On cherche une solution sous la forme, à t> t0 de la forme :
Pour ce faire on fractionne le problème en p intégrations sur des intervalles (régulier ou non)
réduits :