Exercices corrigés -Tribus, fonctions mesurables, mesures

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Exercices corrigés - Tribus, fonctions mesurables, mesures
Tribus
Exercice 1 - Tribu engendrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit . On considère la tribu engendrée par les ensembles avec
Quels sont les éléments de la tribu ?
Indication
Démontrer que tous les singletons sont éléments de la tribu.
Corrigé
Il est facile de voir que, pour tout entier ,
Puisque toute partie de est réunion dénombrable de singletons, et qu'une tribu est stable par
passage à la réunion dénombrable, on en déduit finalement que .
Exercice 2 - Tribu image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit et deux ensembles, une tribu sur et une application. Montrer que
est une tribu sur .
Indication
Utiliser les propriétés de l'image réciproque d'une fonction....
Corrigé
Remarquons d'abord que est un élément de . De plus, si ,
avec , alors est aussi un élément de . Enfin, si est une
suite d'éléments de , chaque s'écrivant , alors
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Ainsi, on a prouvé que est bien une tribu.
Exercice 3 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un ensemble non-vide et une partition de . On note
Démontrer que est la tribu engendrée par .
Indication
Démontrer d'abord que est une tribu.
Corrigé
On commence par remarquer que est une tribu. En effet,
;
Si est un élément de , alors
car forme une partition de et donc .
, et donc est stable par réunion dénombrable.
De plus, contient tous les , et donc elle contient la tribu engendrée par . Maintenant,
toute tribu contenant doit nécessairement contenir n'importe quelle réunion finie des .
est donc bien la tribu engendrée par .
Exercice 4 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un ensemble infini et une partition de . Pour toute partie de , on pose
.
1. Démontrer que est une tribu sur et que c'est la plus petite tribu
contenant tous les .
2. Trouver une partition de de sorte que, pour tout , n'est pas fini.
3. Trouver une tribu incluse dans , de cardinal infini, dont tous les éléments, sauf
l'ensemble vide, sont de cardinal infini.
Indication
1. Vérifier la définition.
2. Utiliser une bijection entre et .
3.
Corrigé

1. Il suffit de vérifier la définition. est élément de . Si est élément de ,
alors est aussi élément de . Enfin, si est une suite d'éléments de , avec
, alors . On a donc prouvé que est une tribu sur . Elle contient
tous les , car . C'est la plus petite tribu qui contient tous les , car si est une
partie de , et si est une tribu contenant tous les , alors par stabilité par réunion finie
ou dénombrable, contient .
2. Il y a de nombreuses façons de répondre à cette question. On peut exhiber une telle
partition, par exemple en choisissant pour la réunion de et de l'ensemble des nombres
impairs, l'ensemble des nombres divisibles par 2, mais pas par 4, et plus généralement,
l'ensemble des entiers divisibles par , mais pas par . On peut aussi considérer une
bijection de sur , et poser .
3. Il suffit de considérer la tribu définie à la première question associée à la partition de
trouvée à la deuxième question.
Exercice 5 - Tribu borélienne de [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
1. Soit l'ensemble des rectangles ouverts de à extrémités rationnelles. Démontrer que
est dénombrable.
2. Soit un ouvert de . Démontrer que .
3. En déduire que la tribu engendrée par les rectangles ouverts de coïncide avec la tribu
borélienne de .
Indication
1. Construire une surjection de sur .
2. Une inclusion est triviale. Pour l'autre, prendre dans , prendre un rectangle ouvert
autour de contenu dans , puis utiliser la densité de dans .
3.
Corrigé
1. L'application
est une surjection de sur . Puisque est dénombrable comme produit fini d'ensembles
dénombrables, l'est aussi.
2. Une inclusion est claire : on a en effet
Réciproquement, soit . Puisque est ouvert, on peut trouver tel que
Par densité de dans , on peut trouver des rationnels tels que

On a donc et , . Ceci prouve l'implication
récriproque.
3. Soit la tribu engendrée par les rectangles ouverts et la tribu borélienne de , c'est-à-
dire la tribu engendrée par tous les ouverts. Puisque tout rectangle ouvert est en particulier un
ouvert, on a . Réciproquement, d'après les deux premières questions, tout ouvert s'écrit
comme réunion dénombrable de rectangles ouverts, donc tout ouvert est élément de . La tribu
engendrée par les ouverts est donc contenue dans la tribu engendrée par . Comme est une
tribu, la tribu engendrée par est elle-même. Ainsi, on a prouvé l'inclusion réciproque
.
Exercice 6 - Tribu des parties finies de [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la tribu engendrée par les parties finies de , et l'ensembles des parties de telles que
est dénombrable ou est dénombrable.
1. Démontrer que est une tribu.
2. Démontrer que et sont égales.
3. Comparer à la tribu borélienne .
4. Soit une application de dans injective. Montrer que est mesurable lorsqu'on munit
de la tribu (au départ et à l'arrivée).
5. Donner une application qui est mesurable de dans et qui ne l'est pas de
dans .
Indication
Corrigé
Ensembles mesurables, boréliens
Exercice 7 - Exemples de boréliens [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
1. Démontrer que est un borélien de .
2. Démontrer que les ensembles suivants sont des boréliens de .
2.1. La diagonale de .
2.2.
Indication
1. Réunion dénombrable d'ouverts.
2.
2.1. C'est un fermé.
2.2. Écrire comme intersection de deux boréliens.
Corrigé
1. On a . L'ensemble est donc un borélien comme réunion
dénombrable d'ouverts (d'ailleurs est lui-même ouvert).
2.
2.1. L'ensemble est un fermé de , c'est donc un borélien (pour prouver qu'il est
fermé, on peut remarquer que où est la fonction continue
, ou encore utiliser la caractérisation par des suites).

2.2. Notons et . On a
et il suffit de prouver que et sont des boréliens. Mais est fermé et
c'est donc un borélien. Pour , on remarque que
Or, chaque ensemble est fermé et donc , comme réunion dénombrable de
fermés, est un borélien. Par stabilité par passage au complémentaire, est lui-même un
borélien.
Exercice 8 - Oscillation et ensembles des points de continuité d'une fonction [Signaler
une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un espace métrique et une fonction. Pour tout , l'oscillation de en est
définie par
1. Démontrer que est continue en si et seulement si .
2. Montrer que, pour tout , l'ensemble est un ouvert de .
3. En déduire que l'ensemble des points où est continue est un borélien de .
Indication
1. Revenir à la définition de continue en , et utiliser l'inégalité triangulaire.
2. Si fonctionne pour , alors fonctionne pour pourvu que .
3. Écrire comme une intersection dénombrable d'ensembles .
Corrigé
1. Supposons d'abord que est continue en et soit . Alors, il existe tel que
. Alors, d'après l'inégalité triangulaire, si et
, alors . Ainsi, . Puisque est arbitraire et que
, on en déduit que .
Supposons maintenant que , et soit . Alors, par définition de la borne
inférieure, il existe tel que, pour tous avec et , on a
. Choisissant , on obtient exactement que est continue en .
2. Soit tel que . Il existe alors tel que, si et ,
on a . Montrons qu'alors, si , on a aussi . Pour cela,
posons et considérons avec et . Par l'inégalité
triangulaire, on a et . On en déduit que ,
ou encore que .
3. On a
Ainsi, est une intersection dénombrable d'ouverts. C'est donc une partie mesurable.
Fonctions mesurables