Electricité 1: Cours, Exercices et Problèmes Corrigés

Electricité 1
Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI
1
Faculté des Sciences
Electricité
Cours
Exercices et problèmes corrigés
Pr. : M. CHAFIK EL IDRISSI

Electricité 1
Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI
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TABLE DES MATIERES
RAPPELS MATHEMATIQUES 5
1. LES VECTEURS 5
2. LES SYSTEMES DE COORDONNEES 6
A- COORDONNEES CARTESIENNES 7
B- COORDONNEES CYLINDRIQUES. 7
C- COORDONNEES SPHERIQUES. 8
3. ANALYSE VECTORIELLE 8
3.1. LES OPERATEURS : GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL. 9
4. THEOREMES FONDAMENTAUX. 10
4.1 CIRCULATION D’UN VECTEUR. 10
4.2. FLUX D’UN VECTEUR A TRAVERS UNE SURFACE. 11
4.3. THEOREME DE STOKES. 11
4.4. THEOREME DE GREEN OSTROGRADSKI. 12
EXERCICES SUR LES RAPPELLES MATHEMATIQUES 13
ELECTROSTATIQUE 14
I- FORCE ET CHAMP ELECTROSTATIQUES 14
I.1 INTRODUCTION. 14
I.2 LA LOI DE COULOMB. 14
I.3 CHAMP ELECTRIQUE DANS LE VIDE. 16
I.3.1.CHAMP ELECTRIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES. 18
a- Distribution volumique. 18
b- Distribution surfacique 19
c- Distribution linéique 19
I.4 THEOREME DE GAUSS. 19
I.4.1 ANGLE SOLIDE. 19
I.4.2 FLUX DU CHAMP ELECTRIQUE. 20
I.4.3 THEOREME DE GAUSS. 22
I.5 APPLICATION : CALCUL DE E PAR LE THEOREME DE GAUSS. 23
I.5.1 CHAMP CREE PAR UNE SPHERE CHARGEE AVEC ρ UNIFORME. 23
I.5.2 ETUDE DES SYMETRIES 25
II. POTENTIEL ELECTRIQUE DANS LE VIDE 26
II.1 INTRODUCTION. 26
II.1.1 CAS OU LE CHAMP EST PRODUIT PAR UNE SEULE CHARGE. 27
II.1.2 LE CHAMP EST PRODUIT PAR UN ENSEMBLE DE CHARGES PONCTUELLES. 27
II.2- POTENTIEL ELECTRIQUE. 28
II.3- RELATION ENTRE LE CHAMP ET LE POTENTIEL ELECTRIQUE. 28
II.4- SURFACE EQUIPOTENTIELLES. 29
II.5- APPLICATION. 30
II.5.1- CAS D’UNE CHARGE PONCTUELLE. 30
II.5.2- CAS DE DEUX CHARGES PONCTUELLES. 30

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II.5.3- ETUDE D’UN DIPOLE. 30
a- Définition. 30
b- Potentiel crée par le dipôle. 31
c- Champ crée par le dipôle. 31
d- Lignes de champ et Surfaces équipotentielles. 32
III. LES CONDUCTEURS 34
III.1 INTRODUCTION. 34
III.1.1 CONDUCTEURS ET ISOLANTS. 34
III.1.2 PROPRIETES D’UN CONDUCTEUR EN EQUILIBRE. 34
III.2. THEOREME DE COULOMB- ELEMENT CORRESPONDANTS. 35
III.2.1 THEOREME DE COULOMB. 35
III.2.2 ELEMENTS CORRESPONDANTS. 36
III.3. INFLUENCES ELECTROSTATIQUES. 36
III.3.1 INFLUENCE SUR UN CONDUCTEUR ISOLE. 36
III.3.2 INFLUENCE SUR UN CONDUCTEUR RELIE AU SOL. 37
III.3.3 INFLUENCE TOTALE. 37
III.3.4 CAPACITE ET COEFFICIENT D’INFLUENCE. 38
a- Capacité d’un conducteur seule et isolé 38
b- Système de conducteur en équilibre électrostatique. 38
III.3.5 LES CONDENSATEURS. 40
III.3.5.1 CAPACITE D’UN CONDENSATEUR. 40
III.3.5.2 APPLICATION. 40
III.3.5.3 GROUPEMENT DE CONDENSATEUR. 41
III.4. ENERGIE ELECTROSTATIQUE. 42
III.4.1 DEFINITION. 42
III.4.2. ENERGIE D’UN CONDUCTEUR. 43
EXERCICES D’ELECTROSTATIQUE 44
I- CALCUL DIRECT DE CHAMPS ELECTROSTATIQUES. 44
II- THEOREME DE GAUSS 45
III- CALCUL INDIRECT DU CHAMP ELECTROSTATIQUE. 47
IV- CONDUCTEURS ELECTROSTATIQUES 48
ELECTROCINETIQUE 51
I. GENERALITES – LOI D’OHM. 51
I.1. COURANT ELECTRIQUE. 51
I.2. DENSITE DE COURANT. 51
I.3. LOI D’OHM. 52
a- Loi d’Ohm locale 52
b- Résistance électrique 53
I.4. LOI DE JOULE. 55
II. LOI D’OHM GENERALISEE 55
II.1. GENERATEUR. 55
III.2. RECEPTEUR. 55

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II.3. LOI D’OHM GENERALISEE. 56
III. ETUDE DES RESEAUX 56
III.1. DEFINITIONS. 56
III.2. LOI DE POUILLET. 57
III.3. LOIS DE KIRCHHOFF. 58
a- Première loi de Kirchhoff 58
b- Deuxième loi de Kirchhoff 58
III. 4. THEOREME DE THEVENIN. 58
III.5. THEOREME DE SUPERPOSITION. 59
III.6. TRANSFORMATION ETOILE – TRIANGLE OU DE KENELLY. 60
III. 7. METHODE DES MAILLES INDEPENDANTES. 60
EXERCICES D’ELECTROCINETIQUE 61
SOLUTION DES EXERCICES ET PROBLEMES 64
RAPPELS MATHEMATIQUES 64
ELECTROSTATIQUE 68
I- CALCUL DIRECT DE CHAMPS ELECTROSTATIQUES 68
II- THEOREME DE GAUSS 74
III- CALCUL INDIRECT DU CHAMP ELECTROSTATIQUE 80
IV- CONDUCTEURS ELECTROSTATIQUES 83
ELECTROCINETIQUE 92
PROBLEMES DE REVISION 96

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Rappels Mathématiques
1. Les vecteurs
Un vecteur est un objet mathématique qui possède une intensité et une direction.
On désignera un vecteur au moyen d'un symbole surmonté d'une flèche (V) et son
intensité par le symbole sans la flèche V.
La composante d'un vecteur sur un axe donné est la longueur de la projection du vecteur
sur l'axe. Soit trois axes orthogonaux X, Y et Z. Un vecteur (tridimensionnel) est complètement
déterminé par ses composantes x, y, z sur les trois axes. On écrit V= (x, y, z). Cela dit, il est
important de remarquer que le vecteur est indépendant des axes choisis (c'est-à-dire du
référentiel), tandis que les composantes changent si l'on effectue une rotation des axes, par
exemple.
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la grandeur est égale à 1. On le désigne par une
lettre minuscule ( i,j,k, u, etc.). Pour tout vecteur V non nul, V
V
u= est un vecteur unitaire
parallèle à V. Les trois vecteurs unitaires ( i,j,k) sont parallèles aux axes X, Y, Z,
respectivement et manifestement,
V = x i + y j + z k (1.1)
- Le produit scalaire de deux vecteurs 1
Vet 2 V est un nombre, noté 1 V.2 V et défini
comme
1
V.2 V= x
1x2 + y1y2 + z1z2. (1.2)
On peut montrer que 1
V.2 V= V1 V2cos α . α est l'angle entre 1 V et 2 V. Le produit 1 V.2 V est un
scalaire, en ce sens que sa valeur ne change pas si l'on effectue une rotation des axes x, y et z.
On a
2222 VzyxV.V =++= (1.3)
- Le produit vectoriel de 1
Vet 2 V est un vecteur, noté 1 VΛ2 V et défini comme
1
VΛ2 V= (y1z2 – z1y2) i + (z1x2 – x1z2) j + (x1y2 – y1x2) k
=
222
111
zyx
zyx
kii
(1.4)
On peut montrer que 1
VΛ2 Vest un vecteur perpendiculaire au plan formé par 1 V et 2 V,
dont l’intensité est égale à V1.V2 |sin
α | et dont le sens est donné par la règle des trois doigts de
la main droite.
Il n'est pas difficile de montrer que :
1
VΛ 2 V = - 2 VΛ 1 V (1.5)