serie 2

TD Electrostatique: Série N° 2
Exercice n°1
Calculer la charge électrique totale portée par chacune des distributions de charges suivantes :
1) Un segment de droite de Longueur L est chargée uniformément avec une densité linéique
λ0.
2) Un demi cercle de centre O, de rayon R et d’axe (OZ) est chargée uniformément avec une
densité linéique λ0.
3) Un cercle de centre O, de rayon R et d’axe (OZ) est chargée uniformément avec une
densité linéique λ0.
4) Un disque de centre O, de rayon R et d’épaisseur négligeable est chargée uniformément
avec une densité surfacique
5) Un cylindre de hauteur h et de rayon R est chargé uniformément avec la densité surfacique
puis avec la densité volumique ρ0.
6) Une sphère de centre O et rayon R est chargée uniformément avec la densité surfacique
puis avec la densité volumique ρ0.
Exercice 2
Deux charges ponctuelles positives de même valeur sont placées respectivement aux points
et de l'axe à une distance de part et d'autre du point O. On note le champ
électrostatique et le potentiel électrostatique crées par ces deux charges en un point
quelconque de l'axe .
1) Quelle est la direction du champ électrostatique ?
2) Donner l'expression du champ électrostatique en fonction de et
3) Donner l'expression du potentiel en fonction de et
4) Retrouver l'expression de .

5) Entre A et B on place une charge q' libre de se déplacer sur l'axe. Calculer et représenter le
vecteur force électrostatique subi par cette charge.
6) Déterminer la position de la charge à l'équilibre.
Exercice 3 : Théorème de Gauss
I- On considère une distribution volumique de charges (Figure 4), de densité positive et
constante ρ=ρ0, comprise entre deux sphères concentriques de centres O et de rayons a et b
avec b > a. On se propose de calculer le champ et le potentiel électrostatiques et ,
en tout point M de l’espace tel que OM = r.
1) Quel est le système de coordonnées le mieux adapté au calcul de et ?
2) Etudier les invariances de et .
3) Etudier les symétries de et déduire sa direction.
4) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique en tout point
de l’espace. Conclure.
5) Déduire le potentiel électrostatique . On supposera que le potentiel est nul à l’infini.
II- Dans la suite, on fait tendre b vers a, la charge totale de la 1ère distribution se trouve alors
répartie sur la surface d’une sphère de rayon a avec une densité superficielle constante σ.
1) En appliquant la conservation de la charge, exprimer la densité σ en fonction de ρ, a et b.
2) Déduire des résultats de la question (I-4) le champ électrostatique crée par une sphère de
rayon a chargée en surface avec la densité σ, en tout point de l’espace.
3) Représenter et étudier sa continuité.
4) En déduire le potentiel électrostatique créé par cette distribution de charge, en tout point de
l’espace. On supposera que le potentiel est nul à l’infini.

Exercice 4: Théorème de Gauss (Facultatif)
On considère un cylindre de longueur infinie d’axe z’z, de rayon R, uniformément chargé en
volume avec une densité de charges ρ> 0. On se propose de calculer le champ et le potentiel
électrostatiques et , en tout point M de l’espace tel que OM = r.
1) a- Quel est le système de coordonnées le mieux adapté pour l’étude de cette distribution.
b- Analyser les plans de symétrie de cette distribution et en déduire la direction du champ
électrostatique.
c- Analyser les éléments de symétrie de cette distribution et montrer que le champ et le
potentiel électrostatiques et ne dépendent que de r (distance entre le
point M et l’axe z’z).
2) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ à l’extérieur et à l’intérieur
du cylindre.
3) Déduire le potentiel électrostatique en tout point de l’espace en prenant V(r=0)=0. 4)
Tracer l’allure de et en fonction de la distance r et conclure.
II- On réalise un câble coaxial en plaçant le cylindre précédant à l’intérieur d’un cylindre
creux de même axe z’z et de rayon , chargé avec une densité surfacique négative par
l’expression :

1) Déduire le champ électrostatique pour .
2) Calculer le champ électrostatique pour . Que remarquez-vous ?
3) Vérifier que le champ électrostatique subit une discontinuité de .