FACULTE DES SCIENCES DE TUNIS A.U. 2023/2024
Département de Physique
LTIC1
TD Electrostatique: Série N° 2
Exercice n°1
Calculer la charge électrique totale portée par chacune des distributions de charges suivantes :
1) Un segment de droite de Longueur L est chargée uniformément avec une densité linéique
λ0.
2) Un demi cercle de centre O, de rayon R et d’axe (OZ) est chargée uniformément avec une
densité linéique λ0.
3) Un cercle de centre O, de rayon R et d’axe (OZ) est chargée uniformément avec une
densité linéique λ0.
4) Un disque de centre O, de rayon R et d’épaisseur négligeable est chargée uniformément
avec une densité surfacique
5) Un cylindre de hauteur h et de rayon R est chargé uniformément avec la densité surfacique
puis avec la densité volumique ρ0.
6) Une sphère de centre O et rayon R est chargée uniformément avec la densité surfacique
puis avec la densité volumique ρ0.
Exercice n°2
On considère une distribution constituée de quatre charges ponctuelles q1, q2, q3 et q4 placées
respectivement aux sommets A, B, C et D d’un carré de côté 2a, de centre O et situé dans le
plan (XOY) (figure 1). On se situe dans le cas où q1 = q2= q3 = q4 =q >0
1) a-Représenter et calculer le vecteur force
électrostatique
exercé, sur la charge q placée au
point A, par les autres charges. (On prendra 1cm pour
(A))
b- En déduire l’expression du champ électrostatique
créé au point A.
2) a- Déterminer le champ électrostatique
créé par
cette distribution de charge en un point M situé sur l’axe
(Oz) perpendiculaire au plan (XOY).
b- En déduire le champ
créé par cette distribution de charge au point O.
3) Déterminer le potentiel électrostatique créé par cette distribution au point M.
Exercice 3
Deux charges ponctuelles positives de même valeur sont placées respectivement aux points
et de l'axe à une distance de part et d'autre du point O. On note
le champ
électrostatique et le potentiel électrostatique crées par ces deux charges en un point
quelconque de l'axe.
1) Quelle est la direction du champ électrostatique
?
2) Donner l'expression du champ électrostatique
en fonction de et
3) Donner l'expression du potentiel en fonction de et
4) Retrouver l'expression de
.
5) Entre A et B on place une charge q' libre de se déplacer sur l'axe. Calculer et représenter le
vecteur force électrostatique
subi par cette charge.
6) Déterminer la position de la charge ′ à l'équilibre.
Exercice 4
On considère un disque de centre O, de rayon R et d’axe Oz chargé uniformément en surface
avec la densité (Figure 2).
4) Déduire l’expression du champ électrostatique crée au point M par un plan infini chargé
uniformément avec la densité (figure 3).
On se propose de calculer le potentiel et le champ
électrostatiques et
, en un point M de l’axe
Oz situé à une distance z du disque.
1) Donner l’expression du champ électrostatique
élémentaire
crée par la charge élémentaire dq
située autour du point P en un point M de l’axe (Oz)
perpendiculaire au plan (xOy), tel que OM=z.
2) Déterminer le champ électrostatique
créé par
cette distribution de charges.
3) Représenter l’allure de
en fonction de z.
5) Déterminer le potentiel électrostatique créé au point M par la distribution de charges
de la figure 2 en utilisant :
a- un calcul direct .
b- la relation liant le champ
au potentiel électrostatique .
Exercice 5 : Théorème de Gauss
I- On considère une distribution volumique de charges (Figure 4), de densité positive et
constante ρ=ρ0, comprise entre deux sphères concentriques de centres O et de rayons a et b
avec b > a. On se propose de calculer le champ et le potentiel électrostatiques
et ,
en tout point M de l’espace tel que OM = r.
1) Quel est le système de coordonnées le mieux adapté au calcul de
et ?
2) Etudier les invariances de
et .
3) Etudier les symétries de
et déduire sa direction.
4) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique
en tout point
de l’espace. Conclure.
5) Déduire le potentiel électrostatique. On supposera que le potentiel est nul à l’infini.
II- Dans la suite, on fait tendre b vers a, la charge totale de la 1ère distribution se trouve alors
répartie sur la surface d’une sphère de rayon a avec une densité superficielle constante σ.
1) En appliquant la conservation de la charge, exprimer la densité σ en fonction de ρ, a et b.
2) Déduire des résultats de la question (I-4) le champ électrostatique crée par une sphère de
rayon a chargée en surface avec la densité σ, en tout point de l’espace.
3) Représenter
et étudier sa continuité.
4) En déduire le potentiel électrostatique créé par cette distribution de charge, en tout point de
l’espace. On supposera que le potentiel est nul à l’infini.
Exercice 7: Théorème de Gauss (Facultatif)
On considère un cylindre de longueur infinie d’axe z’z, de rayon R, uniformément chargé en
volume avec une densité de charges ρ> 0. On se propose de calculer le champ et le potentiel
électrostatiques
et , en tout point M de l’espace tel que OM = r.
1) a- Quel est le système de coordonnées le mieux adapté pour l’étude de cette distribution.
b- Analyser les plans de symétrie de cette distribution et en déduire la direction du champ
électrostatique.
c- Analyser les éléments de symétrie de cette distribution et montrer que le champ et le
potentiel électrostatiques
et ne dépendent que de r (distance entre le point M
et l’axe z’z).
2) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ
à l’extérieur et à l’intérieur
du cylindre.
3) Déduire le potentiel électrostatique en tout point de l’espace en prenant V(r=0)=0.
4) Tracer l’allure de
et en fonction de la distance r et conclure.
II- On réalise un câble coaxial en plaçant le cylindre précédant à l’intérieur d’un cylindre
creux de même axe z’z et de rayon , chargé avec une densité surfacique négative par
l’expression :
1) Déduire le champ électrostatique pour .
2) Calculer le champ électrostatique pour . Que remarquez-vous ?
3) Vérifier que le champ électrostatique subit une discontinuité de
.
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