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Chapitre 8: Trigonométrie (II)
TRIGONOMÉTRIE (II)
CORRECTION DES EXERCICES
ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Exercice 1 :
Résolvons l’équation cos(x) = −√3
2
cos(x) = −√3
2⇔cos(x) = −cos π 6
⇔cos(x) = cos π−π
6
⇔cos(x) = cos 5π
6
⇔x=5π
6+ 2kπ ou x=−5π 6+ 2kπ avec k∈Z
1. lorsque xappartient à l’intervalle [0; π];
On a :
•x=5π
6+ 2kπ ∈[0; π]avec k∈Z
5π
6+ 2kπ ∈[0; π]⇔0≤5π 6+ 2kπ ≤π
⇔0≤5
6+ 2k≤1
⇔ −5
6≤2k≤1−5 6
⇔ − 5
12 ≤k≤1 12
⇔ −0,417 ≤k≤0,083
⇔k= 0
c
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Chapitre 8: Trigonométrie (II)
k= 0 alors on a x=5π
6+ 2 ×0×π=5π 6d’où x=5π 6.
•x=−5π
6+ 2kπ ∈[0; π]avec k∈Z
−5π
6+ 2kπ ∈[0; π]⇔0≤ −5π 6+ 2kπ ≤π
⇔0≤ −5
6+ 2k≤1
⇔5
6≤2k≤1 + 5 6
⇔5
12 ≤k≤11 12
⇔0,417 ≤k≤0,917
D’où l’entier k n’existe donc pas.
Ainsi, x=5π
6est une solution unique de l’équation sur l’intervalle
[0; π]
2. lorsque xappartient à l’intervalle i−π;π
2i.
On a :
•x=5π
6+ 2kπ ∈i−π;π 2iavec k∈Z
5π
6+ 2kπ ∈i−π;π 2i⇔ −π < 5π 6+ 2kπ ≤π 2
⇔ −1<5
6+ 2k≤1
⇔ −1−5
6<2k≤1 2−5 6
⇔ −11
6<2k≤ −2 6
⇔ −11
12 < k ≤ −1 6
⇔ −0,917 < k ≤ −0,167
c
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Chapitre 8: Trigonométrie (II)
D’où l’entier k n’existe donc pas.
•x=−5π
6+ 2kπ ∈i−π;π 2iavec k∈Z
−5π
6+ 2kπ ∈i−π;π 2i⇔ −π < −5π 6+ 2kπ ≤π 2
⇔ −1<−5
6+ 2k≤1 2
⇔ −1 + 5
6<2k≤1 2+5 6
⇔ −1
6<2k≤8 6
⇔ − 1
12 < k ≤8 12
⇔ − 1
12 < k ≤2 3
⇔ −0,083 < k ≤0,667
⇔k= 0
k= 0 alors on a x=−5π
6+ 2 ×0×π=−5π 6.
D’où x=−5π
6
Ainsi, x=−5π
6est une solution unique de l’équation sur l’intervalle
i−π;π
2i.
Exercice 2 :
1. On considère un nombre réel xde l’intervalle h0; π
2itel que sin(x) = 1 4
a. Déterminons la valeur la valeur exacte de cos(x).
On sait que pour tout x∈R,
c
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cos2(x) + sin2(x) = 1 donc cos2(x) = 1 −sin2(x).
cos2(x) = 1 −sin2(x)⇔cos2(x) = 1 −1
42
⇔cos2(x) = 1 −1
16
⇔cos2(x) = 15
16
⇔cos(x) = −√15
4ou cos(x) = √15 4
Le réel xappartient à l’intervalle h0; π
2idonc cos(x)>0d’où
cos(x) = √15
4.
Par conséquent, la valeur exacte de cos(x)est √15
4.
b. Déterminons, à l’aide de la calculatrice en mode radian, une valeur
approchée de xau millième près.
c. Vérifier à l’aide de la calculatrice le résultat obtenu à la question a.
2. Déterminons la valeur exacte de cos(x)avec xun nombre réel de
l’intervalle h−π
2;π 2itel que sin(x) = −0,8.
On sait que pour tout x∈R,cos2(x) + sin2(x) = 1 donc
cos2(x) = 1 −sin2(x).
cos2(x) = 1 −sin2(x)⇔cos2(x) = 1 −(0,8)2
⇔cos2(x) = 0,1−0,64
⇔cos2(x) = 0,36
⇔cos(x) = 0,6ou cos(x) = −0,6
Le réel xappartient à l’intervalle h−π
2;π 2idonc cos(x)>0d’où
cos(x) = 0,6.
Par conséquent, la valeur exacte de cos(x)est 0,6
c
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Exercice 3 :
Déterminons dans chaque cas, le ou les nombres réels xvérifiant la condition
donnée.
1. cos(x) = −1
2et x∈[0; π].
En s’aidant du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que:
cos(x) = −1
2lorsque x=2π 3et lorsque x=−2π 3.
xétant dans l’intervalle [0; π], alors la valeur de xqui convient est
x=2π
3.
D’où 2π
3est l’unique solution de l’équation cos(x) = −1 2lorsque x∈
[0; π].
2. sin(x) = −√2
2et x∈h−π 2;π 2i.
A partir du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que:
sin(x) = −√2
2lorsque x=−3π 4et lorsque x=−π 4.
xétant dans l’intervalle h−π
2;π 2i, alors la valeur de xqui convient est
x=−π
4. D’où −π 4est l’unique solution de l’équation sin(x) = −√2 2
c
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