002 Intervales Calcul Approche 2S LVND 2022-2023

Cellule de Mathématiques du lycée Valdiodio Ndiaye c 2022-2023 - 2S
I.A KAOLACK LYCÉE VALDIODIO NDIAYE CLASSE : 2S - SÉRIE N˚2
PRÉNOM(S) :·········································· NOM :························ CLASSE :············
INTERVALLES ET CALCUL APPROCHÉ
Exercice 1. 1. Pour chacun des intervalles suivants, déterminer :
- le centre, le rayon, l’inéquation associée et le système associé. [−5; 5] ; [2; 7] ; −1
3;−1 10;−√2; 1.
2. On donne : A= ]−2; 6] ;B= [−3; +∞[;C= ]−∞;−7] ;D= [−1; +∞[;E= ]1; 4] ;F= ]−2; 4[.
Déterminer A∩B,A∪B,C∩D,C∪D,E∩Fet E∪F.
3. Traduire les propositions suivantes en terme d’intervalles ou d’encadrements :
(a) E=x∈R:|2x−1|<2
3
(b) F={x∈R:|2−5x| ≤ 1et |x−1|>2}
(c) −1≤x≤5
(d) x∈[0; 4]
(e) 2<x<7
2
(f) x∈[−2; 1[
(g) x > 4;
(h) x∈]−∞; 3]
4. Caractériser par une inégalité du type |x−a| ≤ rou |x−a| ≥ rou |x−a|< r ou |x−a|> r.
(a) I1= [−1; 3]
(b) I2= ]−∞;−1[ ∪]3; +∞[
(c) I3= ]−5; −2[
(d) I4= ]−∞;−5] ∪[−2; +∞[
Exercice 2. Compléter le tableau suivant :
Valeur absolue Distance Intervalle(s) Encadrement
|x+ 5| ≤ 1
d(x, −4) ≤2
x∈[6; 10]
−3≤x≤5
|10x+ 5| ≤ 0,1
|5x−8| ≥ 1
Exercice 3. Partie entière. : On a : ∀x∈R, on a : E(x)≤x<E(x)+1où E(x)est la partie entière de x.
1. Pour chacune des valeurs suivantes, déterminer la partie entière : a) 34,72 ; b) 0,998 ; c) −3,98 ; d) −15,002 ; e)
−28.
2. Comparer les nombres E(x) + E(y)et E(x+y):x= 14,85 et y= 8,5;x=−0,0477 et y=−0,00874 ;
x=−27,12 et y= 13,15. Quelle conjecture peux-tu émettre ?
3. (a) Démontrer que ∀x∈R,0≤x−E(x)<1.
(b) Démontrer que ∀x∈R,−1
2≤x−Ex+1 2<1 2.
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(c) Démontrer que ∀x∈R, x −1< E(x)≤x.
(d) Démontrer que pour tout x /∈Z, on a E(−x) = −E(x)−1.
(e) Démontrer que pour tout réel x,E(2x) = E(x) + Ex+1
2.
4. Résoudre dans Rles équations et inéquations suivantes :
(a) E(x)=2
(b) E(x) = x
(c) 2x−5 = E(x)
(d) E(|x−2|)=3
(e) E(x)=0
(f) E(x) = −3
(g) 3E(x)−1=0
(h) E(x)<2
(i) E(x)≥ −1
(j) −1≤E(x)<3
(k) 2E(x)+3<0
(l) E(2x−1) = E(x−4)
Exercice 4. 1. Soit −7,4≤x≤ −7,3
(a) Donner une valeur approchée de xet préciser l’incertitude.
(b) Donner une valeur approchée de xpar excès et par défaut et préciser dans chaque cas l’incertitude.
2. Traduire les phrases suivantes par un encadrement :
(a) 1,21 est une valeur approchée de xà2.10−2près.
(b) 2,25 est une valeur approchée de xpar défaut à 10−3près.
(c) 3,12 est une valeur approchée de xpar excès à 2.10−1près.
3. Soit aet bdeux nombres réels tels que : 1,73 ≤a≤1,75 et 1,46 ≤b≤1,50.
Donner un encadrement pour chacun des nombres : −2a+ 5 ;b2;b2−2a+ 5 ;a−b;a
b.
Exercice 5.
1. Donner une écriture scientifique et l’ordre de grandeur de chacun des nombres suivants :
a= 14732,52 ;b= 0,00015 ;c= 50714630 ;d= 0,0250147 ;e= 0,0000015 ;f= 32000.
2. Donner une approximation décimale d’ordre 5 de chacun des nombres suivants :
x=√5;y=√3;z=√12 ;w= 0,00045235 ;t= 12,25689
Exercice 6. 1. On considère les réels xet ytels que : −1,2≤x≤ −1,1et 0,5≤y≤0,6.
Donner un encadrement de : x+y;x−y;xy ;x
y;(2x−1)(−y+ 1) ;x2−1 y+ 1 .
2. Soit a, b et ctrois réels tels que 1≤a≤2,−3≤b≤ −2et −1≤c≤2.
Donner un encadrement de : a+b,a−b,ab ,ac ,bc ,a2,b2,c2,a
bet a−c a+c.
Exercice 7. 1. Démontrer que, pour tout x6= 0 , on a : 1
1 + x= 1 −x+x2 1 + x.
2. Démontrer que, pour tout x∈−1
2;1 2on a :
(a) 06x261
4. (b) 2 361 1 + x62.(c) 06x2
1 + x62x2.
3. En déduire des deux questions précédentes que, pour tout x∈−1
2;1 2,1−xest une valeur approchée par
défaut de 1
1 + xà2x2près.
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