Correction-série-N°2-Electrostatique-SMPC

Filière SMPC - Année Universitaire 2017/2018 Electricité I Campus Universitaire Ait Melloul
dataelouardi.com Prof. El mokhtar El Ouardi
Année Universitaire: 2017 /2018
Filière SMPC
TD d’électrostatique
Série N°2
Exercice N°1 : Segment de droite uniformément chargé avec la densité linéique
Soit un segment AB uniformément chargé avec une densité linéique
> 0.
On désigne par O le milieu du segment AB. Calculer le champ E crée
par cette distribution en tout point M sur une distance a de la
médiatrice de AB et en un point M appartenant au segment AB.
xercice N°1
1) Le point M est sur la médiatrice de AB
 (figure ci dessous).
Deux éléments de charges dq1 et dq2, centrés en deux points P1 et P2 symétriques par rapport à O,
créent en M des champs électrostatiques élémentaires respectivement  et d . La résultante de
 vecteur  .
Le champ électrostatique  créé par l’ensemble de la charge portée par le segment AB est donc, par
raison de symétrie, dirigé suivant l’axe des y. Soit,
Si on choisit 

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Cas limite
Q = 2 L concentrée en O.
Si le point M est très proche du segment (L >> a), on a :
 uniformément chargé.
2) Le point M appartient à (AB)
Un élément de charge dq dx centré en P crée en M un champ élémentaire d porté par  (figure
ci-dessous) :
Cas limite
Si le point M est très éloigné du segment [AB] (a >> L), on a :
Exercice N°2 : Répartition linéique de charges non uniforme
R placé dans le plan xOy, porte une charge électrique répartie avec une
densité linéique  :   où 0 est une constante positive et
, P étant un point quelconque du cercle.
Calculons les composantes de la force
 exercée sur une charge

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ponctuelle q0 
La charge est répartie positivement sur le demi-cercle supérieur (y > 0) et négativement
sur le demi-cercle inférieur (y < 0) (figure ci-dessous), avec des valeurs maximale et
minimale respectivement en  
 et   .
Un élément de charge dq = 0 sindl (avec dl = R d) , porté par un élément de longueur dl
centré en un point moyen P, exerce sur la charge q0 placée en O une force électrostatique
élémentaire donnée par :
Les deux composantes de la force 
 , portées par  et  (figure 5) s’écrivent :
Dans ce cas le signe (-) correspond à   
.
Par intégration, on obtient :
Soit
La force totale exercée sur q0 
suivant () (figure ci-dessous     
(     ).

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Exercice N°3 : Boucle circulaire portant une charge linéique uniforme
Soit une boucle circulaire de centre O, de rayon R, uniformément
chargée avec une densité linéique 0. Calculer le champ  crée par cette
de la boucle :
1- A partir du potentiel électrostatique
2- Directement
1- Calcul du champ électrostatique à partir du potentiel
Le potentiel dV(M) créé en un point M(0, 0, z) par la charge    portée par un élément dl de la
boucle entourant P (figure ci-dessous) est :
La charge    crée en M le potentiel V(M) :
avec,
Le potentiel V(M) est obtenu par intégration sur le contour C de la boucle :
Ce qui donne :
Le champ E ( M ) est déduit du potentiel par dérivation :

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b) Calcul direct du champ en un point M(0,0,z)
autour de  est un plan de symétrie paire de la distribution. Donc le
champ  est porté par  :
La charge dq = 0 dl = 0 Rd crée en M le champ  :
Le champ 
 étant porté par 
, seule la composante  est à considérer :
Exercice N°4 : Boucle circulaire portant une chargée non uniforme
On considère à nouveau la boucle circulaire de centre O, de rayon R, cette fois chargée avec une
densité linéique de charge  :   où    .
Déterminer le potentiel et le champ électrostatique crées par cette répartition de charges en tout
1- Calcul du potentiel
de la boucle :
Le potentiel   
la relation   , on en déduit que le champ  .
2- Champ électrostatique crée par la boucle
Le plan ( de la boucle est un plan de symétrie impaire (figure ci-
dessous) :
Le champ 
 est normal à ce plan : 
Le champ d ( M ) créé par la charge   entourant le point P (figure ci-dessous) est :