TD 1

Série 1
Exercice 1.Soient m; n 2Net soient ;  2R.
1. Montrer, qu’au voisinage de 0, on a
a)o(xn)o(xm) = o(xn+m);b)o(xn)o(xm) = o(xmin(n;m));c) >  =)jxj=o(jxj):
2. Montrer, qu’au voisinage de +1, on a
a)  <  =)x=o(x),b)  > 0 =)(ln x)=o(x).
Exercice 2. Soient n2Net a0; a1; :::; an2R. Montrer, qu’au voisinage de 0, on a
a0+a1x+::: +anxn=o(xn)() a0=a1=::: =an= 0 :
Exercice 3. Soient a; b 2Ret f; g deux fonctions dé…nies sur un voisinage de a.
Soit 'une fonction dé…nie sur un voisinage de b, telle que lim
x!b'(x) = a.
1. Montrer que si f(x)
ag(x)alors f'(x)
bg'(x).
2. Calculer
lim
x!0
ln(1 + 2x3x4)
tan x:arcsin x2;lim
x!0
tan(xcos xx)
sinh(x2):arctan(x)
:
Exercice 4. Soit fla fonction dé…nie par
f(x) = pxsi 0x1
a(x21) + bx si x > 1
Pour quelles valeurs de aet b, la fonction fest de classe C1sur ]0;+1[?
Exercice 5. Etablir les inégalités suivantes
1.Pour tout x2R,1x2
2cos x1x2 2+x4 24 .
2.Pour tout x0,xx2
2+x3
3(1+x)3ln(1 + x)xx2
2+x3 3.
Exercice 6.
1. Ecrire la formule de Mac Laurin à l’ordre nde la fonction x7! ex.
2. Montrer que pour tout n2N, on a
ii)8x0;xn
n!ex:ii)8x2R;ex
n
X
k=0
xk
k!jxjn+1 (n+ 1)!ejxj:
3. Soit x2R.Déduire de ce qui précède la limite suivante:
lim
n!+1
n
X
k=0
xk
k!.
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Université Cadi Ayyad Année universitaire 2022-2023
Faculté des Sciences Semlalia Travaux dirigés d’Analyse 3 I
Département de Mathématiques Filière SMIA-S2

Exercice 7.Soient f:R! Rune fonction de classe C2et gla fonction dé…nie
par g(x) = f(x)f(0)
xsi x6= 0
f0(0) si x= 0
1.Ecrire la formule de Taylor-Young au voisinage 0, à l’ordre 2pour la fonction
f, à l’ordre 1pour la fonction f0.
2.Montrer que gest dérivable sur Ret donner l’expression de g0(x).
3.Montrer que g0est continue au point 0.
4.En déduire que gest de classe C1sur R.
Exercice 8. Soit fune fonction de classe Cnsur un intervalle ]R; R[; R > 0.
1.Ecrire la formule de Taylor-Young de fà l’ordre n, au voisinage de 0.
2.Montrer que si fest paire alors f(k)(0) = 0, pour tout entier impair kn.
3.Montrer que si fest impaire alors f(k)(0) = 0, pour tout entier pair kn.
Exercices facultatifs
Exercice 9.Soit f: [0;1] !Rune fonction de classe C2. On pose M= sup
x2[0;1] jf00(x)j.
1. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 1, montrer que
8x2[0;1];f(x)f(0) f0(0)xM
2x2:
2. Soit la suite (Sn)n1dé…nie par Sn=Pn
k=1 (f(k
n2)f(0)).
a) Montrer que pour tout n1,Snn+1
2nf0(0)M 2n.
b) En déduire que (Sn)n1est convergente et calculer sa limite.
3. Application: calculer lim
n!+1Pn
k=1
k
n2+k.
Exercice 10.Soit fla fonction dé…nie par f(x) = ln(1 + x).
1. Calculer f(n)(x), pour chaque n2Net chaque x2]1;+1[.
2. Ecrire la formule de Mac-Laurin à l’ordre n, pour la fonction fsur ]1;+1[.
3.Donner le polynôme de Taylor Tn(x)d’ordre nde f, au voisinage de 0et
montrer que
8n1;8x2[0;+1[;jf(x)Tn(x)jxn+1
n+ 1:
4. Application: Déterminer la limite de la suite (un)n1dé…nie par un=Pn
k=1
(1)k+1
k.
Exercice 11.Soient n2Net ':R! R, une fonction de classe Cn, telle que
'(x) = o(xn)dans un voisinage de 0.
1. Montrer, en appliquant la formule de Taylor-Young, que pour tout p2[0; n],
on a '(p)(0) = 0 et '(p)(x) = o(xnp).
2. Soit la fonction :R! R, dé…nie par (x) = '(x)
xsi x6= 0
0sinon
a) Montrer que pour tout p2[0; n[, on a (p)(x) = o(xnp1).
b) En déduire que est de classe Cn1sur R.
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