Sup Diapo Analyse 2 integrale de Riemann

Chapitre 2 : Intégrale de Riemann
Chapitre 2
Intégrale de Riemann
43 / 84

Chapitre 2 : Intégrale de Riemann
Motivation. On va introduire l’intégrale à l’aide d’un exemple. Considérons la fonction
exponentielle f:R−→ R,x↦−→ ex.On veux calculer l’aire Aau dessous de la courbe de fet
entre les droites d’équation (x=0),(x=1)et l’axe (Ox).
A
y=ex
x
y
0 1
1
44 / 84

Chapitre 2 : Intégrale de Riemann
Motivation. On va approcher cette aire par des sommes d’aires des rectangles situés sous la
courbe. Plus précisément, soit n>1un entier ; découpons l’intervalle [0,1]à l’aide de la
subdivision 0,1
n,2 n, . . . , i n,··· ,n−1 n,1.
On considère les « rectangles inférieurs » R−
i, chacun ayant pour base l’intervalle i−1
n,i net pour
hauteur fi−1
n=e(i−1)/n. L’entier ivarie de 1àn. L’aire de R−
iest « base ×hauteur » :
i
n−i−1 n×e(i−1)/n=1 nei−1
n.
y=ex
x
y
R−
1R− 2R−
3R−
4
01
4
2
4
3
41
1
y=ex
x
y
R+
1R+ 2R+
3R+
4
01
4
2
4
3
41
1
45 / 84

Chapitre 2 : Intégrale de Riemann
Motivation. On va approcher cette aire par des sommes d’aires des rectangles situés sous la
courbe. Plus précisément, soit n>1un entier ; découpons l’intervalle [0,1]à l’aide de la
subdivision 0,1
n,2 n, . . . , i n,··· ,n−1 n,1.
On considère les « rectangles inférieurs » R−
i, chacun ayant pour base l’intervalle i−1
n,i net pour
hauteur fi−1
n=e(i−1)/n. L’entier ivarie de 1àn. L’aire de R−
iest « base ×hauteur » :
i
n−i−1 n×e(i−1)/n=1 nei−1
n.
y=ex
x
y
R−
1R− 2R−
3R−
4
01
4
2
4
3
41
1
y=ex
x
y
R+
1R+ 2R+
3R+
4
01
4
2
4
3
41
1
45 / 84

Chapitre 2 : Intégrale de Riemann
Motivation.
La somme des aires des R−
ise calcule alors comme somme d’une suite géométrique :
n
i=1
ei−1
n
n=1 n
n
i=1e1
ni−1=1
n
1−e1
nn
1−e1
n
=
1
n
e1
n−1e−1−−−−−→
n→+∞ e−1.
Pour la limite on a reconnu l’expression du type ex−1
x−−−→
x→01(avec ici x=1
n).
Soit maintenant les « rectangles supérieurs » R+
i, ayant la même base i−1
n,i nmais la hauteur
fi
n=ei/n. Un calcul similaire montre que
n
i=1
ei
n
n→e−1lorsque n→ +∞.
L’aire Ade notre région est supérieure à la somme des aires des rectangles inférieurs ; et elle est
inférieure à la somme des aires des rectangles supérieurs.
46 / 84