correction du polycopié

Correction du polycopié de Transition Terminale →CPGE
Par un collectif d’élèves
Novembre 2022
Introduction
Organisation du Contenu
Ce document, à mon initiative, est une correction du polycopié Mathématiques : du lycée aux
CPGE scientifiques des lycées Louis-le-Grand et Henri-IV. Entrant moi-même en année de PCSI,
il m’a semblé propice d’établir une correction qui pourra aider quiconque voulant s’essayer à ce po-
lycopié. Il a la même organisation que le polycopié d’origine, avec les mêmes parties et sous-parties.
Les énoncés ont été recopiés pour plus de clarté, avec d’éventuelles corrections d’erreurs d’énoncés
qui ont pu se glisser dans le document d’origine, et le nom du correcteur est mentionné pour chaque
exercice. Ce polycopié ne comportant pas les parties de cours et d’exemples du polycopié d’origine,
certains exercices de ce document mentionnent des fonctions, propriétés et démonstrations qui n’y
figurent pas. Le lecteur est prié de consulter le document d’origine disponible sur le site du lycée
Louis-le-Grand. Les corrections se veulent aussi complètes que possible, et ne sont donc pas des in-
dications mais des raisonnements entièrement rédigés. La diversité des rédactions et les éventuelles
différences de style ou d’écriture entre les solutions provient de la nature collaborative du projet,
et donc des différences entre correcteurs. Au vu de la longueur de ce document, il se peut qu’il y ait
des erreurs en tout genre. Si le lecteur en rencontre, il peut me les signaler à [email protected].
Remerciements
Ce projet conséquent est le fruit de la collaboration de plus de 75 élèves, entrant majoritairement
en première année de classe préparatoire, mais aussi d’élèves en route vers la seconde année, de
lycéens et d’intégrés. Ce travail aurait été impossible sans la collaboration de tous, que ce soit pour
la correction des exercices, leur vérification, l’administration, et autres tâches longues et pénibles
qui ont été faites en groupe et qui auraient été impossibles sans l’aide de chacun.
J’aimerais particulièrement remercier certaines personnes qui ont été décisives quant à l’aboutis-
sement de ce corrigé :
-Lancelot Achour, pour les 60 exercices que tu as proposé avec une efficacité et une rapidité qui
ont permis à ce document d’avancer considérablement, on te doit plus d’un dixième de ce corrigé !
-Léo Baciocchi, pour avoir été un administrateur extrêmement efficace, pour tes conseils L
A
T
EX, ta
participation et ta double correction.
-Daniel Caby, Tristan Hottier et Octave Koenig, pour avoir été là dès le début et avoir fait les
exercices les plus difficiles, tout en répondant aux questions de chacun. Votre investissement et
encouragements nous ont été fondamentaux.
-Tomás Jeria, pour avoir pris en main les subtilités du L
A
T
EX et avoir été le premier à réellement
s’investir dans le projet, on te doit son envol.
-Ilies Chenene, pour être venu à un moment où la motivation était au plus bas : ta modération
efficace, ta prise en charge des transcriptions L
A
T
EX ainsi que ton long travail ont permis à tout le
monde de finir ce corrigé.
-Loïse Launay pour ta participation active et les nombreux exercices que tu as rédigés.
-Les élèves déjà en classes préparatoires ou au-delà, pour vos conseils de rédactions et votre double-
correction.
1

Et enfin, l’équipe des "transcripteurs", pour avoir transformé des réponses écrites sur papier en
L
A
T
EX, ce n’est pas exagéré de dire que vous avez fait la partie la plus difficile et la plus longue de
ce corrigé.
Finalement, il me semble opportun de remercier M. et Mme Tosel, ainsi que les lycées Louis-Le-
Grand et Henri-IV, non seulement pour avoir créé le polycopié d’exercices, mais pour avoir re-rédigé
et re-corrigé chacune des corrections faites par les élèves, pour avoir un document le plus exact et
juste possible. L’équipe vous doit une supervision et des conseils qui ont permis à votre document
d’être corrigé.
Neil Sherman
2

Table des matières
1 Modes de raisonnement 5
1.1 Le raisonnement par récurrence (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Le raisonnement par récurrence (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Le raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Calculs algébriques 19
2.1 Généralitésetrappels .................................. 19
2.2 le symbole P....................................... 24
2.3 Complément : sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Le symbole Q....................................... 35
3 Inégalités, inéquations, trinôme du second degré réel 36
3.1 Inégalités, encadrements, inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Complément : inégalité arithmético-géométrique pour deux réels . . . . . . . . . . 47
3.3 Le trinôme du second degré réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Racines du trinôme et factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 Signe du trinôme pour les valeurs réelles de la variable . . . . . . . . . . . . 50
3.3.3 Somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Complément : inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes . . . . . . . . . . . . . 54
4 Trigonométrie 55
4.1 Les formules d’addition et de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Congruences modulo un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Complément : transformation acos x+bsin x..................... 63
4.4 Complément : la fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Calcul des limites 66
5.1 Premiersexemples .................................... 66
5.2 Utilisation des taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Mise en facteur du terme prépondérant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Utilisation de la forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Quelquesétudesdesuites ................................ 75
6 Dérivation 84
6.1 Calculdesdérivées.................................... 84
6.2 Tangenteàungraphe .................................. 91
6.3 Variationsdesfonctions ................................. 97
6.3.1 Étude de fonctions, nombres de solutions d’une équation . . . . . . . . . . . 97
6.3.2 Démonstration d’inégalités, détermination d’extrema . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Caractérisation des fonctions constantes, équations différentielles . . . . . . . . . . 117
6.4.1 Caractérisation des fonctions constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4.2 L’équation différentielle y′=λy ......................... 117
6.5 Complément : la condition nécessaire d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Complément : les fonctions puissances 125
7.1 Généralités ........................................ 125
7.2 Fonctions puissances et croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.3 L’inégalité artihmético-géometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4 Utilisation de la forme exponentielle pour le calcul des limites . . . . . . . . . . . . 138
8 Intégration 141
8.1 Calculs d’intégrales et de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2 Intégrationdesinégalités................................. 145
8.3 Intégrale fonction de sa borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.4 L’intégrationparparties................................. 152
8.5 Suitesd’intégrales .................................... 156
8.6 Complément : intégrales de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.7 Complément : développement en série de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . 163
3

8.8 Complément:séries ................................... 169
8.9 Complément : méthodes des rectangles et estimation de sommes . . . . . . . . . . 171
8.10 Problème : un premier calcul de ζ(2) .......................... 175
9 Probabilités 178
9.1 Exercicesintroductifs................................... 178
9.2 Schémabinomial ..................................... 195
9.3 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.4 La linéarité de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10 Nombres complexes 218
10.1 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.2Conjuguéetmodule ................................... 220
10.3 Représentation géométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.4 Nombres complexes de module 1, exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . 231
10.5 Arguments d’un nombre complexe non nul, forme trigonométrique . . . . . . . . . 233
10.6 Interprétation géométrique du module et de l’argument de c−a
b−a.......... 236
10.7Laformuledubinôme .................................. 241
10.8 Complément : technique de l’arc moitié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.9 Complément : calcul de sommes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.10Racines n-ièmes de l’unité, racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . 253
10.11Complément : inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11 Polynômes et équations algébriques 265
11.1Polynômes......................................... 265
11.2 Complément : polynômes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.3 Racines d’une équation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11.4 Complément : l’équation du second degré dans C................... 279
11.5 Complément : les équations du degré 3 et 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.6 Complément : rigidité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.7 Complément : polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.8 Complément : vers les formules de Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.9 Problème : un second calcul de ζ(2) .......................... 302
12 Arithmétique 305
12.1 Divisibilité, division euclidienne, congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.2Nombrespremiers .................................... 313
12.3 PGCD de deux entiers, théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
12.4 Lemme de Gauss, inversion modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.5 Complément : racines rationnelles d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
12.6 Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.7 Le petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
12.8 Complément : le théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4

1 Modes de raisonnement
1.1 Le raisonnement par récurrence (1)
Exercice 1 ( ➁) par Neil Sherman[∗]
Montrer que
∀n∈N∗,13+ 23+··· +n3=n(n+ 1)
22
Pour ndans N∗, on note Pnla propriété
13+ 23+··· +n3=n(n+ 1)
22
.
Initialisation. La vérification de P1est immédiate. En effet :
13=1(2)
22
= 1.
Hérédité. Fixons ndans N∗tel que Pnsoit vraie. On a donc :
13+ 23+··· +n3=n(n+ 1)
22
.
Alors :
13+ 23+··· +n3+ (n+ 1)3=n(n+ 1)
22
+ (n+ 1)3.
Soit :
13+ 23+··· +n3+ (n+ 1)3= (n+ 1)2n2
4+n+ 1.
Mais :
n2
4+n+ 1 = n2+ 4n+ 4 4=(n+ 2)2 22=n+ 2 22
.
Et donc finalement
13+ 23+··· +n3+ (n+ 1)3= (n+ 1)2n+ 2
22
=(n+ 1)(n+ 2)
22
.
Ce qui est exactement Pn+1.
Conclusion. Ainsi,
∀n∈N∗,13+ 23+··· +n3=n(n+ 1)
22
.
Exercice 2 ( ➁) par Tristan Hottier [∗]
Montrer que, si n∈N, il existe un entier impair λntel que
52n= 1 + λn2n+2
Pour n∈N, montrons par récurrence la proposition suivante :
Pn:Il existe λnimpair tel que 52n= 1 + λn2n+2
5