leçon analyse MIA 2023

INTRODUCTION
Ce livre nous donne d’une manière un peu détaillé la leçon d’analyse 1 de bases. Il
s’adresse aux étudiants, principalement de niveau L1, filière Mathématiques, filière Infor-
matique et filière Physique-chimie à l’université.
Les mathématiques, vous les avez bien sûr manipulées au lycée. Dans le supérieur, il s’agit
d’apprendre à les construire! La première année pose les bases et introduit les outils dont
vous aurez besoin par la suite.
Les outils centraux abordés dans ce tome d’analyse 1, ce sont les fonctions. Vous en connais-
sez déjà beaucoup, racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle,... Elles inter-
viennent dès que l’on s’intéresse à des phénomènes qui varient en fonction de certains
paramètres. Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en
fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en fonction de la nourri-
ture disponible, physique, chimie, biologie, économie, gestion, Informatique autant de do-
maines dans lesquels le formalisme mathématique s’applique et permet de résoudre des
problèmes.
Cette leçon débute par l’étude des nombres réels. Le chapitre qui suit est basé sur l’étude
des suites numériques et notions de séries. Le chapitre suivant est consacré aux fonctions
réelles d’une variable réelle : limite, continuité, dérivabilité sont des notions essentielles,
qui reposent sur des définitions, des propositions et théorèmes. Le chapitre 4 nous donne
des fonctions réciproques concernant les fonctions trigonométriques et les fonctions hy-
perboliques. Les développements limités des fonctions d’une seule variable est sur le cha-
pitre 5. Le dernier chapitre sera consacré par des intégrales et notions des intégrales géné-
ralisées.
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Chapitre 1
Nombres réels
1.1 L’ensemble des nombres rationnels
Définition 1.1.1. L’ensemble des nombres rationnels est Q=½p
q:p∈Z,q∈N∗¾.
Proposition 1.1.2. Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale
périodique ou finie.
Par exemple : 3
5=0,6; 1 3=0,3333......... ; 1,179 325 325 325.
1.2 L’ensemble des nombres irrationnels
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, les irrationnels.
Les nombres irrationnels apparaissent naturellement dans les figures géométriques : par
exemple la diagonale d’un carré de côté 1 est le nombre irrationnel p2; la circonférence
d’un carré de rayon 1
2est πqui est églement un nombre irrationnel. Enfin e=exp(1) est
aussi irrationnel.
Proposition 1.2.1. p2n’est pas dans Q.
Démonstration. Par l’absurde. ■
Proposition 1.2.2. Un nombre est dit irrationnel si et seulement s’il adment une écriture
décimale non périodique et infinie.
Exemple 1.2.3. π=3,1415926535...
1.3 L’ensemble des nombres réels
Définition 1.3.1. L’ensmble des nombres réels est l’union de l’ensmble des nombres ration-
nels et l’ensemble des nombres irrationnels.
Notation : L’ensmble des nombres réels est noté par R.
Définition 1.3.2. R=R∪{−∞,+∞}.
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CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS 3
1.4 Propriétés de R
1.4.1 Addition et multiplication
Soient a,b,c∈R,ona:
•a+b=b+aet a×b=b×a.
•0+a=aet 1 ×a=asi a6=0.
•a+b=0⇐⇒a=−bet ab =1⇐⇒a=1
bsi b6=0.
•(a+b)+c=a+(b+c) et (a×b)×c=a×(b×c).
•a×(b+c)=a×b+a×c.
•a×b=0⇐⇒a=0ou b =0.
Corollaire 1.4.1. (R,+,×)est un corps commutatif.
1.4.2 Ordre sur R
Dans cette sous section, on garde à l’esprit que E=Ret ℜ=≤.
Définition 1.4.2. Soit E un ensemble.
1. Une relation ℜsur E est un sous-ensemble de l’ensemble produit E ×E. Pour (x,y)∈
E×E, on dit que x est en relation avec y et on note xℜy pour dire que (x,y)∈ℜ.
2. Une relation ℜest une relation d’ordre si
• ℜ est réfexive : pour tout x ∈ℜ, xℜx
• ℜ est antisymétrique : pour tout x,y∈E, (xℜyet yℜx)=⇒ x=y
• ℜ est transitive : pour tout x,y,z∈E, (xℜy et yℜz)=⇒ xℜz.
Définition 1.4.3. Une relation d’ ordre ℜsur un ensemble E est totale si pour tout x,y∈E on
axℜy ou yℜx. On dit aussi que (E,ℜ)est un ensemble totalement ordonné.
Proposition 1.4.4. La relation ≤sur Rest une relation d’ordre, et de plus elle est totale.
On a donc :
•pour tout x∈R,x≤x,
•pour tout x,y∈R, si x≤yet y≤xalors x=y,
•pour tout x,y,z∈R, si x≤yet y≤zalors x≤z.
Remarque 1.4.5. Pour (x,y)∈R2on a par définition :
1. x ≤t⇐⇒ y−x∈R+
2. x <y⇐⇒(x≤y et x 6= y).
Définition 1.4.6. On définit le maximum de deux réels a et b par :
max(a,b)=½a si a ≥b
b si b >a
Et le minimum de deux réels a et b par :
min(a,b)=½a si a <b
b si b ≤a

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS 4
1.4.3 Propriété d’Archimède
Propriété
Rest archimédien, c’est-à-dire : ∀x∈R,∃n∈N;n>x
"Pour tout réel x, il existe un entier naturel nstrictement plus grand que x.
Proposition 1.4.7. Soit x ∈R, il existe un unique entier relatif, la partie entière notée E(x),
tel que : E(x)≤x<E(x)+1.
Exemple :
•E(1,751) =1 , E(π)=3, E(−8,5) =−9
•E(x)=3⇐⇒3≤x<4.
1.4.4 Valeur absolue
Définition 1.4.8. On définit la valeur absolue d’un réel x par :
|x|=½x si x ≥0
−x si x <0
Proposition 1.4.9. 1. |x|≥0;|−x|=| x|;|x|>0⇐⇒ x6=0.
2. px2=|x|
3. |xy |=|x|| y|
4. Inégalité triagulaire :|x+y|≤|x|+|y|. Preuve?
5. Seconde inégalité triagulaire :|| x|−|y||≤| x−y|. Preuve?
1.5 Densité de Qdans R
1.5.1 Intervalle
Définition 1.5.1. Un intervalle de Rest un sous-ensemble I vérifiant la propriété :
∀a,b∈I∀x∈R,(a≤x≤b=⇒x∈I).
Remarque 1.5.2. •Par définition I ={} est un intervalle.
•I=Rest un intervalle.
Définition 1.5.3. Un intervalle ouvert est un sous-ensemble de Rde la forme ]a,b[={x∈R/a<x<b}
où a et b sont des éléments de R.
Définition 1.5.4. Soit a un réel, V ⊂Run sous-ensemble. On dit que V est un voisinage de a
s’il existe un intervalle ouvert I tel que a ∈I et I ⊂V .
1.5.2 Densité
Théorème 1.5.5. 1. Qest dense dans R: tout intervalle non vide de Rcontient une infi-
nité de rationnels.
2. R−Qest dense dans R: tout intervalle non vide de Rcontient une infinité de irration-
nels.

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS 5
1.6 Borne
1.6.1 Maximum, minimum
Définition 1.6.1. Soit A une partie non vide de R. Un réel αest un plus grand élément de A
si : α∈A et ∀x∈A=⇒ x≤a.
S’il existe, le plus grand élément est unique, on le note alors max A.
Le plus peti élément de A, noté minA, s’il existe est le réel βtel que β∈A et ∀x∈A=⇒ x≥a.
Exemple
•max[a,b]=b, et min[a,b]=a.
•L’intervalle ]a,b[ n’a pas de plus grand élément, ni de plus petit élément.
•L’intervalle ]0,1] a pour plus grand élément 1 et n’ a pas de plus petit élément.
1.6.2 Majorants, minorants
Définition 1.6.2. Soit A une partie non vide de R. Un réel M est un majorant de A si ∀x∈A
on a x ≤M.
Un réel m est un minorant de A si ∀x∈A on a x ≥m.
Exemple
•3 est un majorant de ]0,2[.
•Soit A=[0,1[.
1. Les majorants de Asont exactements les éléments de [1,+∞[.
2. Les minorants de Asont exactements les éléments de ] −∞,0].
1.6.3 Borne supérieure, borne inférieure
Définition 1.6.3. Soit A une partie non vide de Ret αun réel.
1. αest la borne supérieure de A si αest un majorant de A et si c’est le plus petit des
majorants. S’il existe on le note sup A.
2. αest la borne inférieure de A si αest un minorant de A et si c’est le plus grand des
minorants. S’il existe on le note in f A.
Exemple
•sup[a,b]=b
•sup]a,b[=b
•in f ]0,+∞[=0
•in f ]0,+∞[=0 n’admet pas de borne supérieure.
Théorème 1.6.4. Toute partie de Rnon vide et majorée admet une borne supérieure.
De la même façon : toute partie de Rnon vide et minorée admet une borne inférieure.
Proposition 1.6.5. (caractérisation de la borne supérieure) Soit A une partie non vide de R.
La borne supérieure de A est l’unique réel sup Atel que
i) si x ∈A, alors x ≤sup A,
ii) pour tout y <sup A, il existe x ∈A tel que y <x.