TD Proba24

M1S2, 2023-2024
MPSE
UJKZ-ISSP
TRAVAUX DIRRIGES
Exercice 1. ∗
Soit (X, Y )tun vecteur al´eatoire de loi uniforme sur le triangle T={(x, y)∈R/0≤y≤
x≤1}, c-`a-d, de densit´e
fX,Y (x, y) = 2 {0≤y≤x≤1},∀(x, y)∈R2.
(1) (a) Donner la loi de Ysachant X.
(b) En d´eduire E(Y|X).
(c) Calculer E(Y) et E(Y X).
(2) (a) Montrer que Y
Xest bien d´efinie presque surement et donner la loi conditionnelle
de Zsachant X.
(b) Montrer que Zest ind´ependante de Xet donner sa loi.
Exercice 2. ∗Une boˆıte Acontient 2 jetons portant le num`ero 0 et une bo`ıte Bcon-
tient 2 jetons portant le num`ero 1.On tire au hasard un jeton dans chaque boˆıte et on les
´echange.Onfait nfois l’op`eration. Soit Xn lav.a.r. ´egale `a la somme des num´eros des jetons
de la boˆıte A `a l’issue du n-`eme ´echange.
D´eterminer la loi de Xnet son esp`erance.
Exercice 3. ∗
Calculer les fonctions g´en´eratrices des lois usuelles vues en cours.
Exercice 4. ∗
Calculer les esp´erances et les variances des lois vues en cours.
Exercice 5. Soit (Ui)i≥1une famille de variables i.i.d. de loi uniforme sur [0,1]. On Pose
X0= 1 et
Xn= 2n
n
Y
i=1
Ui,∀n≥1.
Soit (Fn)n≥0la filtration canonique associ´ee `a (Xn)n≥0.
(1) Montrer que (Xn)n≥0est une martingale, c-`a-d,
(a) Xnest int´egrable pour tout n∈N;
(b) Xnest Fn)−mesurable pour tout n∈N
(c) E(Xn+1|Fn) = Xn.
(2) Montrer que (Xn)n≥0converge presque surement vers la variable X∞.
(3) Pour tout i≥1, on pose Vi= 1 + ln(Ui).
(a) Calculer E(V1).
(b) Montrer que E(eγV1) = eγ
γ+1 pour tout γ > 0.
En d´eduire une majoration de P(eγV1> eγc) pour c∈R.
1

(c) En faisant le choix appropri´e de γ, en d´eduire que
P(V1> c)≤(1 −c)ec,∀c∈]0,1[.
(d) Soit Zn=Pn
i=1 Vi. Par un raisonnement similaire `a celui du point (c), trouver
une majoration de P(Zn> cn) pour c∈]0,1[.
(e) En d´eduire que pour tout c > 0,
lim sup
n→∞
Zn
n< c presque surement.
(4) On pose Yn= ln(Xn).
(a) Exprimer Yn+1 en fonction de Ynet en d´eduire
lim
n→∞
E(Yn)
(b) Exprimer Ynen fonction de Zn. En d´eduire la limite presque sˆure de Yn, puis
celle de Xnlorsque n→ ∞.
Exercice 6. Soient Xet Ydeux variables al´eatoires dont les lois sont donn´ees par
P(X= 1) = 0.6P(Y= 1) = 0.4
P(X= 2) = 0.2P(Y= 2) = 0.5
P(X= 3) = 0.2P(Y= 3) = 0.1
(1) La loi du couple (X, Y ) est donn´ee par l’un des tableaux suivants. Lequel?
A
y
x123
1 0.5 0 0.1
2 0.2 0.1 0
3 0.1 0 0
B
y
x123
1 0.5 0 0.1
2 0 0.1 0
3 0.1 0 0
C
y
x123
1 0.2 0.1 0.1
2 0.3 0.1 0.1
3 0.1 0 0
D
y
x1 2 3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
(2) Quel serait le tableau de la loi du couple (X, Y ) si les variables Xet Y´etaient
ind´ependantes ?
(3) Parmi les autres tableaux, d´eterminer lesquels peuvent correspondre `a la loi d’un
couple de variables. Lorsque c’est le cas, donner les lois marginales correspondantes.
Exercice 7. On pense que la probabilit´e qu’un bon syst`eme d’exploitation tombe en panne
durant une journ´ee d’utilisation est p= 0,01.
(1) Quel est le nombre de jours `a partir duquel la probabilit´e d’observer au moins une
panne du syst`eme soit sup´erieure ou ´egale `a 1/2 ?
(2) Quelle est l’esp´erance du temps avant une panne du syst`eme?
Exercice 8. Un ´epicier re¸coit un lot de pommes dont 25% sont avari´es. Il charge un employ´e
de pr´eparer des emballages de 5 pommes chacun. Celui-ci, n´egligent, ne se donne pas la peine
de jeter les fruits avari´es. Chaque client qui trouve, dans l’emballage qu’il ach`ete, 2 fruits
ou plus qui sont avari´es, revient au magasin se plaindre.
(1) Soit Xle nombre de pommes avari´ees dans un emballage . D´eterminer la loi de
probabilit´e de X.
(2) Quelle est la probabilit´e pour qu’un client donn´e se plaigne aupr`es de son ´epicier?

(3) Si l’´epicier a 100 clients qui ach`etent des pommes ce jour-l`a, combien y aura-t-il de
plaintes?
Exercice 9. ∗
Demontrer que la loi Hyperg´eom´etrique converge vers la loi binomiale.
Exercice 10. Le service de d´epannage d’un grand magasin dispose d’´equipes intervenant
sur appel de la client`ele. Pour des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec
retard. On admet que les appels se produisent ind´ependamment les uns des autres, et que,
pour chaque appel, la probabilit´e d’un retard est de 0,25.
(1) Un client appelle le service `a 4 reprises. On d´esigne par Xla variable al´eatoire
prenant pour valeurs le nombre de fois o`u ce client a dˆu subir un retard.
(a) D´eterminer la loi de probabilit´e de X, son esp´erance, sa variance.
(b) Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement : ”Le client a au moins subi un retard”.
(2) Le nombre d’appels re¸cus par jour est une variable al´eatoire Yqui suit une loi de
Poisson de param`etre m. On note Zle nombre d’appels trait´es en retard.
(a) Exprimer la probabilit´e conditionnelle de Z=ksachant que Y=n.
(b) En d´eduire la probabilit´e de ”Z=ket Y=n”.
(c) D´eterminer la loi de Z. On trouvera que Zsuit une loi de Poisson de param`etre
m×0,25.
(3) En 2013, le standard a re¸cu une succession d’appels. On note Ule premier appel
re¸cu en retard. Quelle est la loi de U? Quelle est son esp´erance?
Exercice 11. Un concierge rentre d’une soir´ee. Il dispose de nclefs dont une seule ouvre
la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.
(1) Il essaie les clefs les unes apr`es les autres en ´eliminant apr`es chaque essai la clef qui
n’a pas convenu. Trouver le nombre moyen d’essais n´ecessaires pour trouver la bonne
clef.
(2) En r´ealit´e, la soir´ee ´etait bien arros´ee, et apr`es chaque essai, le concierge remet la
clef essay´ee dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d’essais n´ecessaires pour
trouver la bonne clef.
Exercice 12. On consid`ere une entreprise de construction produisant des objets sur deux
chaˆınes de montage Aet Bqui fonctionnent ind´ependemment l’une de l’autre. Pour une
chaˆıne donn´ee, les fabrications des pi`eces sont ind´ependantes. On suppose que Aproduit
60% des objets et Bproduit 40% des objets. La probabilit´e qu’un objet construit par la
chaine Asoit d´efectueux est 0.1 alors que la probabilit´e pour qu’un objet construit par la
chaine Bsoit d´efectueux est 0.2.
(1) On choisit au hasard un objet `a la sortie de l’entreprise. On constate que cet objet
est d´efectueux. Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement “l’objet provient de la chaˆıne
A“ .
(2) On suppose de plus que le nombre d’objets produits en une heure par Aest une
variable al´eatoire Yqui suit une loi de Poisson de param`etre λ= 20.On consid`ere
la variable al´eatoire Xrepr´esentant le nombre d’objets d´efectueux produits par la
chaˆıne Aen une heure.
(a) Rappeler la loi de Yainsi que la valeur de l’esp´erance et de la variance de Y.
(b) Soient ket ndeux entiers naturels, d´eterminer la probabilit´e conditionnelle
P(X=k|Y=n). (On distinguera les cas k≤net k > n ).

(c) En d´eduire, en utilisant le syst`eme complet d’´ev´enements (Y=i)i∈N,que Xsuit
une loi de Poisson de param`etre 2 .
Exercice 13. Un fumeur essaye de ne plus fumer. S’il ne fume pas un jour donn´e, alors
la probabilit´e qu’il ne fume pas le lendemain est p∈]0; 1[. S’il fume un jour donn´e, alors la
probabilit´e qu’il ne fume pas le lendemain est q∈]0,1[.
(1) Calculer la probabilit´e pnque cette personne ne fume pas le n-`eme jour.
(2) Calculer limn→∞ pn
Exercice 14. (1) Soit Xune variable P(λ). D´eterminer l’esp´erance de Y=1
1+X.
(2) Calculer la fonction caract´eristique de la loi de Poisson B(n, p). En d´eduire l’esperance
et la variance de cette loi.
Exercice 15. On lance deux d´es ´equilibr´es, on note U1et U2les variables al´eatoires corre-
spondant aux r´esultats obtenus. On appelle X= min(U1, U2) et Y= max(U1, U2).
(1) Donner la loi de X. En d´eduire E(X).
(2) Exprimer X+Yen fonction de U1et U2. En d´eduire E(Y).
(3) Exprimer XY en fonction de U1et U2. En d´eduire Cov(X, Y ).
Exercice 16. Soit p∈]0,1[. On dispose d’une pi`ece amenant ”pile” avec la probabilit´e p.
On lance cette pi`ece jusqu’`a obtenir pour la deuxi`eme fois ”pile”. Soit Xle nombre de ”face”
obtenus au cours de cette exp´erience.
(1) D´eterminer la loi de X.
(2) Montrer que Xadmet une esp´erance, et la calculer.
(3) On proc`ede `a l’exp´erience suivante : si Xprend la valeur n, on place n+ 1 boules
num´erot´ees de 0 `a ndans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On
note alors Yle num´ero obtenu. D´eterminer la loi de Y. Calculer l’esp´erance de Y.
(4) On pose Z=X−Y. Donner la loi de Zet v´erifier que Zet Ysont ind´ependantes.
Exercice 17. On joue `a pile ou face avec une pi`ece non ´equilibr´ee. A chaque lancer, la
probabilit´e d’obtenir pile est 2/3, et donc celle d’obtenir face est 1/3. Les lancers sont
suppos´es ind´ependants, et on note Xla variable al´eatoire r´eelle ´egale au nombre de lancers
n´ecessaires pour obtenir, pour la premi`ere fois, deux piles cons´ecutifs. Pour n≥1, on note
pnla probabilit´e P(X=n).
(1) Expliciter les ´ev´enements (X= 2), (X= 3), (X= 4), et d´eterminer la valeur de p2,
p3,p4.
(2) Montrer que l’on a pn=2
9pn−2+1 3pn−1.,n≥4.
(3) En d´eduire l’expression de pnpour tout n.
(4) Rappeler, pour q∈]−1,1[, l’expression de P+∞
n=0 nqn, et calculer alors E(X).
Exercice 18. On lance une pi`ece de monnaie dont la probabilit´e de tomber sur pile vaut p.
On note Xla variable al´eatoire correspondant au nombre de lancers n´ecessaire pour obtenir
rfois pile. Quelle est la loi de X?
Exercice 19. Une rampe verticale de spots nomm´es de bas en haut S1, S2, S3, S4change
d’´etat de la mani`ere suivante :
•`a l’instant t= 0, le spot S1est allum´e.
•si, `a l’instant t=n, n ≥0, le spot S1est allum´e, alors un (et un seul) des spots
S1, S2, S3, S4s’allume `a l’instant t=n+ 1, et ceci de mani`ere ´equiprobable.

•si, `a l’instant t=n, n ≥0, le spot Sk(2 ≤k≤4) est allum´e, le spot Sk−1s’allume
`a l’instant t=n+ 1.
On pourra remarquer qu’`a chaque instant, un et un seul spot est allum´e. On note Xla
variable al´eatoire repr´esentant le premier instant (s’il existe) o`u le spot S2s’allume.
(1) Calculer la probabilit´e pour que le spot S1reste constamment allum´e jusqu’`a l’instant
n.
(2) Calculer la probabilit´e des ´ev´enements (X= 1) et (X= 2).
(3) Calculer la probabilit´e des ´ev´enements (X=n), pour n≥3.
(4) D´eterminer l’esp´erance de X.
Exercice 20. ∗
Des ´etudes sur une population ont montr´e que l’on pouvait admettre que la probabilit´e pn
qu’une famille ait exactement nenfants est d´efinie par :
∀n≥1, pn=αpn
avec 0 <p<1, α > 0 et (1 + α)p < 1.
On suppose que les naissances des gar¸cons et des filles sont ´equiprobables.
(1) Calculer la probabilit´e pour une famille de ne pas avoir d’enfants.
(2) Calculer la probabilit´e pour une famille d’avoir exactement kgar¸cons.
(3) Etant donn´ee une famille ayant au moins un gar¸con, quelle est la probabilit´e qu’elle
en ait deux ou plus ?
Exercice 21. ∗
Soient X0, . . . , Xndes variables al´eatoires suivant une loi uniforme sur [0,1], ind´ependantes.
(1) Soit 0 ≤k≤net soit Uk= min(X0, . . . , Xk). D´emontrer que Ukadmet une densit´e
que l’on d´eterminera.
(2) Soit Nune variable al´eatoire suivant une loi binomiale B(n, 1/2). D´emontrer que
U= min(X0, . . . , XN) admet une densit´e que l’on d´eterminera.
Exercice 22. ∗
Soit (Xn)n≥1une suite de v.a. ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Soit Zet Wdeux
variables ind´ependantes de lois N(0,1
12 ).
(1) (a) D´efinir la densit´e de X1.
(b) Calculer E(X1) et V(X1)
(c) D´eterminer la fonction de r´epartition de X1.
(2) Pour tout n≥1, on pose Yn=X2n+1 −X2n.
(a) D´eterminer la loi de Z−W.
(b) Montrer que la suite
Un=1
√n(Y1+··· +Yn),
converge en loi et trouver la loi limite.
(3) On d´efinit maintenant la suite (Zn)n≥1par Zn= (X1X2···Xn)1/n. La suite (Zn)
converge-t-elle? En quel sens? Pr´eciser sa limite.
Exercice 23. ∗
Soit Lune v.a. positive admettant une densit´e de probabilit´e fet Xune v.a. de loi uniforme