Applications Linéaires : Cours et Exercices

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A P P L I CAT I O N S L I N É A I R E S
Motivation : Les espaces vectoriels possèdent une structure particulière vue précédemment, et les applications entre espaces
vectoriels qui présentent un intérêt dans ce contexte sont celles qui “préservent” la structure d’espace vectoriel. On les appelle
morphismes d’espaces vectoriels, ou plus communément applications linéaires.
Dans ce chapitre, (E,+,·)et (F,+,·)désignent deux K-ev. Par commodité, les lois de Eet de Fsont notées de la même façon
(il faut donc faire attention au contexte pour savoir si l’on parle d’une loi de Eou de F! !).
6.1 ensemble des applications lin éaires de edans f.
6.1.1Définition, propriétés
Soit ϕune application E→F.
On dit que ϕest linéaire si et seulement si :
(i) ∀(x;y)∈E2,∀λ∈K,ϕ(x+y) = ϕ(x) + ϕ(y)
(ii) ∀(x;y)∈E2,∀λ∈K,ϕ(λx) = λϕ(x)
Définition 6.1.1.1.
Soit ϕune application E→F.
Alors ϕest linéaire si et seulement si :
∀x,y∈E,∀λ,µ∈K,ϕ(λx +µy)=λϕ(x) + µϕ(y)
Proposition 6.1.1.2.
Notations / vocabulaire :
•L’ensemble des applications linéaires de Edans Fse note L(E,F).
•L(E,E)se note L(E). Ses éléments sont appelés endomorphismes de E.
•Une application linéaire bijective se nomme un isomorphisme (d’espaces vectoriels).
•Les isomorphismes de Edans lui-même se nomment les automorphismes de E. Leur ensemble se note GL(E)
et s’appelle le “groupe linéaire”.
•S’il existe un isomorphisme de Edans Falors Eet Fsont dits isomorphes.
Définition 6.1.1.3.
1. Soit I:C0([0;1],R)−→ R
f7→ Z1
0
f
.
Montrez que Iest une application linéaire surjective. Est-elle injective ?
2. Soient u:R2−→ R3
x
y7→ 
x−y
y
−x
et v:R3−→ R3
x
y
z
7→ 
x−y
y−z
z−x
. Montrez que uet vsont linéaires.
3. Soit f:R3−→ R
(x;y;z)7→ 2x +3y −z
. Montrez que fest linéaire.
4. Soit g:R2−→ R2
x
y7→ x2−y2
xy 
. Est-elle linéaire ?
5. On considère Ccomme C-ev. Quelles sont les applications linéaires de Cdans C? (dites “C-linéaires”).
6. On considère Ccomme R-ev. Quelles sont les applications linéaires de Cdans C? (dites “R-linéaires”).
Indication : procédez par analyse-synthèse et dans l’analyse, posez α+iγ =f(1)et β+iδ =f(i).
7. L’application x7→ λx, définie de Edans E, est appelée homothétie de rapport λ. Montrez qu’elle est linéaire.
8. Prouvez la proposition 6.1.1.2.
Exercice 6.1.1.4.

Soit f∈L(E,F). Alors :
(i) fest un morphisme de groupes de (E,+) dans (F,+).
(ii) f(0E)=0F.
(iii) ∀x∈E,f(−x) = −f(x)
(iv) Si Aest un sev de Ealors fhAiest un sev de F. En conséquence, Im fest un sev de F.
(v) Si Best un sev de Falors f−1hBiest un sev de E.
Proposition 6.1.1.5.
Démonstration. (i) découle immédiatement de la définition, tandis que (ii) découle de (i). (iii) : exercice !
(iv) Soit Aun sev de E. Comme fest un morphisme de groupes, fhAiest déjà un sous-groupe de (F,+). Ensuite, si y∈fhAiet λ∈Kalors il existe x∈E
tel que f(x) = y, et alors λy =λf(x) = f(λx)
|{z}
∈Asev
∈fhAi.
(v) Soit Bun sev de F. Alors f−1hBiest déjà un sous-groupe de (E,+), puisque fest un morphisme de groupes. Ensuite, si x∈f−1hBiet λ∈Kalors
f(λx) = λ·f(x)
|{z}
∈B
∈Bsev . Donc λx ∈f−1hBi.
Cette dernière propriété permet de définir la notion très importante suivante :
Soit f∈L(E,F).
Alors f−1h{0F}iest un sev de Eappelé Noyau de fet noté ker f.
Définition 6.1.1.6(Noyau d’une application linéaire).
Et une utilité du noyau d’une application linéaire réside dans la caractérisation ci-dessous de son injectivité :
fest injective si et seulement si ker f={0E}
Proposition 6.1.1.7.
Démonstration. Si fest injective alors ∀x∈E,f(x) = 0=⇒f(x) = f(0)=⇒x=0donc ker f⊂{0E}. Réciproquement, si ker f={0E}et x,y∈Eavec
f(x) = f(y)alors 0=f(x) − f(y) = f(x−y)donc x−y∈ker fdonc x−y=0donc x=y.
Remarques
☞Prouver ker f={0}est plus économique que de prouver directement l’injectivité avec la définition !
☞Pour prouver qu’un ensemble est sev de E, il suffit de le reconnaitre comme le noyau d’une application linéaire.
1. Soit f:R2−→ R2
x
y7→ x+y
2x +3y −1
. Est-elle linéaire ?
2. Déterminez le noyau des applications uet vde l’exercice 6.1.1.4.
3. Montrez que f∈C0([0;1],R)|Z1
0
f(t)dt=0est un espace vectoriel.
4. Montrez que la dérivation est une application linéaire de D(R,R)dans RR. Déterminez son noyau. Est-elle
injective ? surjective ?
5. Montrez que la dérivation est un endomorphisme de C∞([0;1],R). Est-elle injective ? surjective ?
Exercice 6.1.1.8.

6.1.2Structure de L(E,F)
☞(L(E,F),+,·)est un K-espace vectoriel, sev de FE,+,·
☞(L(E),+,◦,·)est une K-algèbre (non commutative), c’est-à-dire que :
•(L(E),+,◦)est un anneau (non commutatif)
•(L(E),+,·)est un K-espace vectoriel, sev de EE,+,·
•∀λ∈K,∀(ϕ,ψ)∈L(E)2,λ·(ϕ◦ψ)=(λ·ϕ)◦ψ=ϕ◦(λ·ψ).
☞De plus (GL(E),◦)est un groupe : c’est le groupe des inversibles de l’anneau (L(E),+,◦).
Proposition 6.1.2.1.
Attention : dans l’anneau (L(E),+,◦), la notation f2désigne f◦f; de même fn:= f◦f◦ · · · ◦ f
|{z }
nfois
1. Démontrez la proposition précédente.
2. Que vaut (f◦g)−1si fet gsont des éléments de GL(E)?
3. Développez dans L(E):
4.(idE−3f)2
5.(f+g)2
6.(f−g)◦(f+g)
7. Factorisez dans L(E):f◦f−5f +6idE
8.GL(E)est-il stable par l’addition?
Exercice 6.1.2.2.
Soit (f,g)∈L(E,F)×L(F,G).
Montrez que Im (g◦f)⊂Im get que ker f⊂ker (g◦f).
Exercice 6.1.2.3.

Nous avons parlé d’algèbre. Voici la définition précise d’une K-algèbre :
(A,+,×,·)est une K-algèbre si et seulement si :
(i) (A,+,×)est un anneau.
(ii) (A,+,·)est un K-espace vectoriel
(iii) ∀λ∈K,∀(x,y)∈A2,λ·(x×y)=(λ·x)×y=x×(λ·y).
Autrement dit, (A,+,×,·)est une K-algèbre si et seulement si :
(i) +est une loi de composition interne sur A.
(ii) +est associative.
(iii) Il y a un élément neutre 0Apour +.
(iv) Tout élément admet un opposé pour +.
(v) +est commutative.
(vi) ×est une loi de composition interne sur A
(vii) ×est associative.
(viii) Il y a un élément neutre 1Apour ×, tel que 1A6=0A.
(ix) ×est distributive par rapport à +.
(x) ·est une loi de composition externe sur A, de domaine d’opérateur K
(xi) ∀x∈A,1K·x=x
(xii) ∀(λ,µ)∈K2,∀x∈A,(λ+µ)·x=λ·x+µ·x.
(xiii) ∀λ∈K,∀(x,y)∈A2,λ·(x+y) = λ·x+λ·y.
(xiv) ∀(λ,µ)∈K2,∀x∈A,(λ×Kµ)·x=λ·(µ·x).
(xv) ∀λ∈K,∀(x,y)∈A2,λ·(x×y)=(λ·x)×y=x×(λ·y).
De plus, on dit que B⊂Aest une sous-algèbre de (A,+,×,·)si et seulement si :
(i) 1A∈B
(ii) ∀(x,y)∈B,x+y∈B
(iii) ∀(x,y)∈B,x×y∈B
(iv) ∀λ∈K,∀x∈B,λ·x∈B
Définition 6.1.2.4(K-algèbre).
Dans la liste ci-dessus, identifiez les propriétés qui caractérisent un groupe, un groupe abélien, un anneau, un
espace vectoriel.
Exercice 6.1.2.5.
Soit E=C∞([0;1],R)et ϕl’endomorphisme de Equi à fassocie l’unique primitive de fqui s’annule en 1.
1. Montrez qu’il existe ψ∈L(E)tel que ψ◦ϕ=idE.
2. A-t-on ϕ∈GL(E)?
3. Existe-t-il ∆∈L(E)tel que ϕ◦∆=idE?
Exercice 6.1.2.6.

6.2 caract érisation d’une application lin éaire par ses restrictions à 2 sev suppl émentaires
Soient Get Hdeux sev supplémentaires de E, et soient ϕ∈L(G,F)et ψ∈L(H,F).
Alors il existe une unique application linéaire f∈L(E,F)telle que fG=ϕet fH=ψ.
En d’autres termes, l’application :L(E,F)−→ L(G,F)×L(H,F)
f7→ fG,fH
est un isomorphisme.
Proposition 6.2.0.1.
Démonstration. Unicité (analyse) : Supposons que f∈L(E,F)avec fG=ϕet fH=ψ.
Soit alors x∈E. Alors il existe un couple (xG,xH)∈G×H,x=xG+xHde sorte que f(x) = f(xG+xH) = f(xG) + f(xH) = ϕ(xG) + ψ(xH).
Existence (synthèse) : Si x∈E, il se décompose de façon unique en x=xG+xHoù xG∈Get xH∈H, de sorte que l’on peut définir
f:E−→ F
x7→ ϕ(xG) + ψ(xH)où x=xG+xHavec xG∈Get xH∈H
.
On vérifie immédiatement que fest linéaire, et que si x∈Galors f(x) = ϕ(x)(dans ce cas xH=0), et que si x∈Halors f(x) = ψ(x)(dans ce cas xG=0).
Soit f∈L(E,F)avec E=E1⊕E2.
Alors : f=0L(E,F)⇐⇒ fE1=0L(E1,F)et fE2=0L(E2,F).
Autrement dit : fest nulle si et seulement si elle est nulle sur deux sev supplémentaires.
Corollaire 6.2.0.2.
Soient (f,g)∈L(E,F)2avec E=E1⊕E2.
Alors : f=g⇐⇒ fE1=gE1et fE2=gE2.
Autrement dit : fet gsont égales si et seulement si elles coïncident sur deux sev supplémentaires.
Corollaire 6.2.0.3.
Prouvez les deux corollaires précédents.
Exercice 6.2.0.4.
6.3 d étermination d’une application lin éaire dans une base
Soit f∈L(E,F)et (ui)i∈Iune base de E.
Alors pour toute famille (vi)i∈Ide vecteurs de F, il existe une unique application linéaire f∈L(E,F)telle que :
∀i∈I,f(ui)=vi
En d’autres termes, l’application :L(E,F)−→ FI
f7→ (f(ui))i∈I
est un isomorphisme.
Proposition 6.3.0.1.
Démonstration. Unicité [Analyse] : soit f∈L(E,F)telle que ∀i∈I,f(ui) = vi. Soit x∈E. Comme (ui)i∈Iest une base de E, il existe une unique famille
(xi)i∈I∈K(I)telle que x=X
i∈I
xiui. Donc f(x) = f X
i∈I
xiui!=X
i∈I
xif(ui) = X
i∈I
xivi.
Existence [Synthèse] : Réciproquement, soit f:E−→ F
x7→ X
i∈I
xivi
où (xi)i∈I∈K(I)est telle que x=X
i∈I
xiui. Cette application est bien définie car le
choix de (xi)i∈Iest unique. Si i0∈I, alors ui0=X
i∈I
δi,i0uidonc fui0=X
i∈I
δi,i0vi=vi0.
Voyons maintenant que fest linéaire. En effet, si (x,y)∈E2et λ,µ∈Kalors on peut écrire x=X
i∈I
xiuiet y=X
i∈I
yiui.
On a alors f(λx +µy) = f λX
i∈I
xiui+µX
i∈I
yiui!=f X
i∈I
(λxi+µyi)ui!=X
i∈I
(λxi+µyi)vi=λX
i∈I
xivi+µX
i∈I
yivi=λf(x) + µf(y).