td-correc-cinematique-des-fluides

TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
Septembre 2013
TD Cinématique des fluides
I
Champ de vitesse
a.
Le champ ~v ne dépend pas du temps, il est donc stationnaire.
y
x
b.
On calcule
div ~v
donc l’écoulement est incompressible.
On calcule
Ýrot
Ñ ~v BBvxx BBvyy BBvzz k
k
0
B
Bx 0
B ^ vvx 0
y
B vy B vx
By 0
Bx By
B
Bz
Ñ
Ý0
donc l’écoulement est irrotationnel (non tourbillonaire).
c.
Comme l’écoulement est irrotationnel, alors l’écoulement est potentiel ~v
vx
vy
0
On doit donc intégrer
$
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
%
B
B
kx
φ
x
B
φ
y
B
B
φ
z
B
ky
ñ
0
φ
x
φ
By
Bφ
Bz
B
B
B
$
φpx, y q 12 kx2
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
φpx, y q 12 ky 2
f py q
g px q
φpx, y, z q hpx, y q
Par identification, on obtient
1
φpx, y q kx2
2
1 2
ky
2
C
12 kpy2 x2q
où C est une constante que l’on peut prendre arbitrairement nulle.
1
C
ÝÝÑ
grad φ. On a donc
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
Septembre 2013
d. L’équation d’une ligne de courant d~l dx~i dy~j est donnée par d~l ^ ~v
courant est tangente en chaque point à la vitesse. On a donc
dx
dy
Ý0 ñ
^ kykx Ñ
On a donc kdpxy q 0, donc xy
hyperboles d’équation y Cx .
dxky pdykxq dxky
Ý0 puisque la ligne de
Ñ
dykx 0 pcomposante sur Ozq
C où C est une constante. Les lignes de courant sont donc des
y
x
Les équipotentielles sont données par φ
courbes d’équation
C, soit 12 kpy2 x2q C. Les équipotentielles sont donc des
y
c
2C 1
k
x2
y
x
ÝÝÑ
ÝÑ
ÝÑ 0. Comme ~v ÝÝÑ
grad φ, l’équipotentielle
Si dM est un élément de l’équipotentielle, alors dφ grad φ dM
est perpendiculaire à la ligne de courant.
e.
Par définition
~a Comme vx
D~v
Dt
B
Ñ
Ý
BB~vt p~v ÝÝÑ
gradq~v 0 pvx
Bx
kx et vy ky
Bvx~i
~a vx
Bx
vy
Bvy ~j kxpkq~i
By
2
ky pk q~j
vy
B qpv ~i
By x
k2py~j
vy~j q ÝÝÑ
x~iq k 2 OM
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
II
Débits
a.
Par définition
Dm
¼
S
L’élément de surface vaut dS
Dm
µ
¼
V
¼
ÝS ~jm dÑ
¼
Ñ
Ý
µ~v d S µ
V
S
1
rdr dθ
1
r2
R2
~ez dS~ez
S
dr rdθ, donc
r2
R2
Septembre 2013
µV
»R
» 2π
r
dθ
0
S
0
r3
R2
R2
dr µV 2π
2
R4
4R2
ce qui donne au final
Dm
µV 2πR
2
En supposant la vitesse uniforme dans la section droite Dm
Dm
µπR
V2
2
vm
b.
µSvm où S πR2, donc
Par définition, le débit d’une grandeur extensive G est donné par
DG
¼
Ñ
Ý
g~v d S
Σ
où g
δG
deltaτ
est la grandeur volumique associée à G. Ici, G Ec
ec
On peut alors calculer
DEc
¼
1 2
Ñ
Ý 1
µv ~v d S µ
2
2
¼
3
v dr rdθ
S
21 mv2 donc δG 12 δmv2 et donc
Eδτc 12 µv2
1
µV 3
2
»R
» 2π
1
dθ
0
S
0
r2
R2
3
r dr
µπV
»R
3
0
1
r2
R2
3
r dr
Pour calculer l’intégrale, on pose
r2
2rdr
R2
du
ñ
rdr
du
R2
R2
2
ce qui permet de réécrire l’intégrale (ne pas oublier de changer les bornes de l’intégrale)
u1
»R
0
1
r2
R2
3
r dr
»0
R2
R2
u p duq 2
2
»1
3
1
u du 3
0
R2 u4
2
4
1
0
2
R8
ce qui donne pour le débit d’énergie cinétique
2
DEc
µπV 3 R8
Si on suppose la vitesse uniforme et égale à la vitesse moyenne, alors v
DEc
21 µ
¼
v 3 dr rdθ
12 V
et alors
2
12 µ 18 V 3πR2 µπV 3 R16
S
Le profil de vitesse proposé permet donc un meilleur transport de l’énergie cinétique. Il est aussi compatible
avec les conditions de continuité de la vitesse à la surface entre le fluide et la conduite (voir chapitre sur
la viscosité).
3
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
III
Septembre 2013
Écoulement autour d’une sphère
L’écoulement est uniforme puisque u est une constante. Il est donc incompressible et irrotationnel.
ÝÝÑ
Comme l’écoulement est irrotationnel, ~v grad φ1 , donc en décomposant sur les axes du système
sphérique
a.
$
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
%
z
B
1
φ
r
B
1
1 Bφ
r Bθ
~v
u cos θ
u sin θ
1
1 Bφ
r sin θ B ϕ
~er
M
θ
0
~eθ
y
Il reste alors à intégrer, ce qui donne
$
φ pr, θ, ϕq ur cos θ
'
'
'
'
&
1
'
'
'
'
%
φ1 pr, θ, ϕq ur cos θ
f pθ, ϕq
g pr, ϕq
φ1 pr, θ, ϕq hpr, θq
et par identification entre ces trois expressions
φ1 pr, θ, ϕq ur cos θ
C
où l’on peut prendre la constante C arbitrairement nulle, donc
φ1 pr, θ, ϕq ur cos θ
b. Il y a une symétrie de révolution autour de l’axe Oz (AD). Il y a donc en particulier une symétrie
par rapport au plan perpendiculaire à la figure passant par A et D.
Le fluide est incompressible, donc le débit volumique est conservé. Si le débit volumique est conservé
et que les lignes de courant se rapprochent, il faut que la vitesse augmente, puisque le section du tube de
courant est plus faible. On peut donc en déduire que la vitesse est plus grande que u au voisinage de B
et C et plus faible au voisinage de A et D.
4
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
c.
Septembre 2013
L’écoulement est irrotationnel et incompressible, donc
Ý0
Ñ ~v Ñ
0 et Ýrot
div ~v
Par ailleurs, ~v
ÝÝÑ
ÝÝÑ
gradφ, donc divpgradφ 0q, ce qu’on réécrit en introduisant le laplacien (formulaire !)
∆φ 0
φ vérifie l’équation de Poisson.
d. Le potentiel φ doit satisfaire au conditions de symétrie de l’écoulement (axe Oz), et donc ne doit pas
dépendre de ϕ. Il doit aussi être une fonction paire de θ pour respecter la symétrie par apport au plan
passant par A et D. La forme proposée satisfait à ces deux exigences.
Le potentiel doit aussi vérifier l’équation de Poisson (en coordonnées sphériques, voir formulaire)
1 B 2 prφq
r Br2
∆φ 1 Bpsin θ BBφθ q
r2 sin θ
Bθ
1 B2φ
r2 sin θ B ϕ2
0
ce qui donne, en injectant la forme proposée
B2
1
cos θ 2
r
Br
En dérivant, on obtient
αr
2
1
cos θ 2α
r
donc
α
cos θ 2
r
2β
r4
1
sin θ
α
r
β
r
1
2
r sin θ
2β
r3
β
r4
1
2
r sin θ
Bpsin θ cosθ θ q
Bθ
B
β
r2
αr
αr
B
β
r2
00
Bp sin2 θq 0
Bθ
α
2 sin θ cos θ cos θ 2
r
2
cos θ
2β
r4
2
α
r
2β
r4
0
L’équation de Poisson est donc bien vérifiée par le potentiel φ proposé.
Pour finir, φ doit satisfaire aux conditions aux limites :
– loin de la sphère, on doit trouver φ φ1 , soit quand r Ñ 8,
φ αr cos θ
ur cos θ
ce qui permet d’identifier a u,
– au contact de la sphère, la composante normale de la vitesse (sur ~er ) doit s’annuler. On exprime la
composante normale de la vitesse en utilisant le gradient en coordonnées sphériques
B
φ
B
vr Br cos θ Br ur
qui doit s’annuler pour tout θ en r a, soit
vr pa, θq 0
β
r2
cos θ
u
3
2β
r3
a u
ñ u 2β
0 ñ β
3
a
2
On peut donc finalement exprimer le potentiel
φpr, θq a3
2r2
r
5
u cos θ
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
e.
Septembre 2013
Il reste à calculer la composante de la vitesse sur ~eθ
vθ
1 Bφ
r Bθ
1
r
B cos θ u
Bθ
β
r2
ur
a3 u
2r3
sin θ
ce qui permet d’écrire l’expression générale de la vitesse
~v pr, θq cos θ u A la surface de la sphère, vr
~er u
2β
r3
a3 u
2r3
sin θ~eθ
0 par construction, donc
~v pa, θq u
En θ 0 (point D), v pa, 0q 0 et en θ
En θ π {2 (point C),
a3 u
2a3
sin θ~eθ
π (point A), vpa, πq 0, A et D sont des points d’arrêts.
3
~v pa, π {2q u~eθ
2
et en θ
π{2 (point B),
IV
Lavabo qui se vide
23 u sin θ~eθ
32 u~ez
3
3
v pa, π {2q u~eθ u~ez
2
2
En B et C, on a donc v 3{2u ¡ u comme prévu à la question b.
1.a L’équation d’une ligne de courant d~l dr ~er rdθ ~eθ dz ~ez est donnée par d~l ^ ~v
ligne de courant est tangente en chaque point à la vitesse. On a donc
dr
rdθ
dz
^
D
2πr
0
0
Ý0 ñ
Ñ
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
00
D
dz 2πr
D
rdθ 2πr
0
ñ
dθ 2πD 0
$
& dz 0
% dθ 0
ñ
Les lignes de courant sont donc des droites radiales
D
¡0
1.b On calcule la divergence du champ de vitesse en coordonnées cylindriques
div ~v1
1 B rvr
r Br
donc l’écoulement est incompressible.
6
1 B
r Br
D
2π
0
Ý0 puisque la
Ñ
$
& z Cste
% θ Cste
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
Septembre 2013
Ñ
Ý
1.c L’élément de surface latérale du cylindre vaut d S Rdθ dz ~er . On calcule le flux à travers cette
surface
¼
»
» 2π
¼
D z
D
Ñ
Ý
Dv dz
dθ Dh
~v1 pRq d S ~er Rdθ dz ~er 2πR
2π 0
0
Σ
Σ
D Dv {h est le débit volumique sortant par unité de longueur. Si D
sortant et on a une source de fluide. Si D 0, on a un puits.
¡ 0, le débit est effectivement
1.d On calcule le rotationnel du champ de vitesse (formulaire)
Ý0
Ýrot
Ñ ~v1 Bvr ~eθ 1 Bvr ~ez Ñ
Bz
r Bθ
ÝÝÑ
ce qu’on aurait pu dire plus tôt en constatant que ~v1 vr prq~er . Il existe donc φ tel que ~v1 grad φ. On
trouve φ en identifiant les coordonnées du gradient avec la vitesse, soit
Bφ D ñ φprq φpr q D ln r
0
Br 2πr
2π
r0
Attention à ne pas intégrer à partir de r 0 où ~v1 n’est pas défini.
1.e La distribution de charge possède deux plans de symétrie passant par M , point auquel on souhaite
calculer le champ :
– le plan passant par M et Oz,
– le plan perpendiculaire au fil, passant par M
Ñ
Ý
ÝÝÑ
Le champ E est contenu dans ce deux plans, donc l’intersection est la droite OM . On a donc un champ
Ñ
ÝE pM q E pM q~er radial.
La distribution de charge est invariante par rotation autour de Oz et par translation sur l’axe Oz,
Ñ
Ý
donc, finalement E E prq~er .
On calcule le champ avec le théorème de Gauss, en choisissant comme surface de Gauss (fermée !) un
cylindre de hauteur h, de rayon r, fermé aux extrémités (appelées S1 et S2 )
¿
Ñ
ÝE dÑ
ÝS ¼ Ñ
ÝE dÑ
ÝS
Σ
¼
S1
Ñ
ÝE dÑ
ÝS
S2
¼
Ñ
ÝE dÑ
ÝS
Slat
Ñ
Ý
Sur les surfaces S1 et S2 , d S dS~ez , au signe près. La contribution de ces surfaces au flux est donc nulle
¿
et il reste
Σ
Ñ
ÝE dÑ
ÝS ¼ Ñ
ÝE dÑ
ÝS ¼ E prq~er rdθ dz ~er E prq 2πrh
Slat
Slat
Le théorème de Gauss permet de relier le flux du champ électrostatique à la charge intérieure à Σ
E prq 2πrh hλ
ε0
λ
ñ E prq 2πrε
0
ce qui permet d’écrire le champ électrique
Ñ
Ý
Ñ
ÝE λ
~er
2πrε0
Le champ E crée par le fil a les mêmes propriétés mathématiques que le champ ~v1 , en particulier, on
Ñ
Ý
Ý Ñ
Ý
ÝÑ Ñ
peut en déduire que div E 0 et rot E 0 . Il y a donc une analogie entre le champ électrostatique et
un champ de vitesse incompressible et irrotationnel.
7
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
Septembre 2013
2.a L’équation d’une ligne de courant d~l dr ~er rdθ ~eθ dz ~ez est donnée par d~l ^ ~v
ligne de courant est tangente en chaque point à la vitesse. On a donc
dr
rdθ
dz
^
Ý0 ñ
Ñ
0
C
2πr
0
$
C
dz 2πr
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
0
00
C
dr 2πr
ñ
0
$
& dr 0
% dz 0
ñ
Ý0 puisque la
Ñ
$
& r Cste
% z Cste
Les lignes de courant sont donc des cercles concentriques.
•
C
¡0
2.b On calcule la divergence du champ de vitesse en coordonnées cylindriques
div ~v2
1 B vθ
r Bθ
1 B
r Br
C
2πr
0
donc l’écoulement est incompressible.
2.c
L’élément de longueur sur lequel on va intégrer vaut d~l Rdθ~eθ
C
»
Γ
~v2 pRq d~l »
Γ
C
~eθ Rdθ~eθ
2πR
C
2π
» 2π
dθ
0
C
La constante C est donc précisément égale à la circulation du champ de vitesse. Cette circulation ne
dépend pas du rayon R choisi pour le cercle parcouru.
2.d La distribution de courant possède un plan de symétrie passant par M , point auquel on souhaite
Ñ
Ý
Ñ
Ý
calculer le champ, le plan passant par M et Oz. Le champ B est perpendiculaire à ce plan, donc B pM q B pM q~eθ est orthoradial.
La distribution de charge est invariante par rotation autour de Oz et par translation sur l’axe Oz,
Ñ
Ý
donc, finalement B B prq~eθ .
On calcule le champ avec le théorème d’Ampère, en choisissant comme contour d’Ampère (fermé !) un
cercle de rayon r sur lequel l’élément de longueur d~l rdθ~eθ
¾
Γ
Ñ
ÝB d~l » 2π B prq~eθ rdθ~eθ B prq2πr
0
Le théorème d’Ampère permet de relier la circulation du champ magnétique au courant enlacé par le
contour Γ
µ0 i
B prq 2πr µ0 i ñ B prq 2πr
8
TD Cinématique des fluides
PSI Moissan 2013
Septembre 2013
ce qui permet d’écrire le champ magnétique
Ñ
ÝB µ0 i
~eθ
2πr
Ñ
Ý
Le champ B crée par le fil a les mêmes propriétés mathématiques que le champ ~v2 , en particulier, on peut
Ñ
Ý
en déduire que div B 0. Il y a donc une analogie entre le champ magnétique et un champ de vitesse
incompressible et tourbillonnaire.
3.a
L’opérateur divergence est linéaire, donc
div ~v
div p~v1
~v2 q div ~v1
div ~v2
0
L’écoulement est donc incompressible.
3.b L’équation d’une ligne de courant d~l dr ~er rdθ ~eθ dz ~ez est donnée par d~l ^ ~v
ligne de courant est tangente en chaque point à la vitesse. On a donc
dr
rdθ
dz
^
D
2πr
C
2πr
0
Ý0 ñ
Ñ
$
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
C
dz 2πr
D
dz 2πr
C
dr 2πr
0
ñ
0
dθ 2πD 0
$
&
%
Les lignes de courant sont donc des courbes d’équation
D
r r0 exp
pθ θ 0 q
C
en coordonnées polaires/cylindriques.
•
D
C¡0
9
dr
r
dz
D
C dθ
0
ñ
$
'
&
'
%
C
D
ln
z
Ý0 puisque la
Ñ
r
r0
θ θ0
Cste