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PSI Moissan 2013 TD Cin´ematique des fluides Septembre 2013
TD Cin´ematique des fluides
I Champ de vitesse
a. Le champ ~v ne d´epend pas du temps, il est donc stationnaire.
y
x
b. On calcule
div ~v vx
x
vy
y
vz
zk k 0
donc l’´ecoulement est incompressible.
On calcule
rot ~v
x
y
z
vx
vy
0
0
0
vy
x
vx
y
0
donc l’´ecoulement est irrotationnel (non tourbillonaire).
c. Comme l’´ecoulement est irrotationnel, alors l’´ecoulement est potentiel ~v grad φ. On a donc
vx
vy
0
φ
x
φ
y
φ
z
On doit donc int´egrer
φ
xkx
φ
yky
φ
z0
φ x, y 1
2kx2f y
φ x, y 1
2ky2g x
φ x, y, z h x, y
Par identification, on obtient
φ x, y 1
2kx21 2ky2C1 2k y2x2C
o`u Cest une constante que l’on peut prendre arbitrairement nulle.
1

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d. L’´equation d’une ligne de courant d~ l dx
~
i dy~ jest donn´ee par d~ l ~v 0 puisque la ligne de
courant est tangente en chaque point `a la vitesse. On a donc
dx
dy
kx
ky 0dxky dykx dxky dykx 0 composante sur Oz
On a donc kd xy 0, donc xy C o`u Cest une constante. Les lignes de courant sont donc des
hyperboles d’´equation yC
x.
y
x
Les ´equipotentielles sont donn´ees par φ C, soit 1
2k y2x2C. Les ´equipotentielles sont donc des
courbes d’´equation
y2C
kx2
y
x
Si dM est un ´el´ement de l’´equipotentielle, alors dφ grad φ dM 0. Comme ~v grad φ, l’´equipotentielle
est perpendiculaire `a la ligne de courant.
e. Par d´efinition
~a D~v
Dt
~v
t~v grad ~v 0vxxvyyvx
~
i vy~ j
Comme vxkx et vyky
~a vx
vx
x~
i vy
vy
y~
j kx k ~ i ky k ~ j k2y~ j x
~
i k2OM
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II D´ebits
a. Par d´efinition
Dm
S
~
jmd S
S
µ~v d S µ
S
V1r2
R2~ezdS~ez
L’´el´ement de surface vaut dS dr rdθ, donc
Dmµ
S
V1r2
R2rdr dθ µV
2π
0
dθ
R
0
rr3
R2dr µV 2πR2 2
R4
4R2
ce qui donne au final
Dm
µV πR2
2
En supposant la vitesse uniforme dans la section droite DmµSvmo`u S πR2, donc
vm
Dm
µπR2
V
2
b. Par d´efinition, le d´ebit d’une grandeur extensive Gest donn´e par
DG
Σ
g~v d S
o`u gδG
deltaτ est la grandeur volumique associ´ee `a G. Ici, G Ec
1
2mv2donc δG 1 2δmv2et donc
ec
Ec
δτ
1
2µv2
On peut alors calculer
DEc
S
1
2µv2~v d S 1 2µ
S
v3dr rdθ 1
2µV 3
2π
0
dθ
R
0
1r2
R2
3
r dr µπV 3
R
0
1r2
R2
3
r dr
Pour calculer l’int´egrale, on pose
u1r2
R2du 2rdr R2rdr R2 2du
ce qui permet de r´e´ecrire l’int´egrale (ne pas oublier de changer les bornes de l’int´egrale)
R
0
1r2
R2
3
r dr
0
1
u3R2
2du R2 2
1
0
u3du R2
2
u4
4
1
0
R2
8
ce qui donne pour le d´ebit d’´energie cin´etique
DEcµπV 3R2
8
Si on suppose la vitesse uniforme et ´egale `a la vitesse moyenne, alors v1
2Vet alors
DEc
1
2µ
S
v3dr rdθ 1
2µ1 8V3πR2µπV 3R2 16
Le profil de vitesse propos´e permet donc un meilleur transport de l’´energie cin´etique. Il est aussi compatible
avec les conditions de continuit´e de la vitesse `a la surface entre le fluide et la conduite (voir chapitre sur
la viscosit´e).
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III ´ Ecoulement autour d’une sph`ere
a. L’´ecoulement est uniforme puisque uest une constante. Il est donc incompressible et irrotationnel.
Comme l’´ecoulement est irrotationnel, ~v grad φ, donc en d´ecomposant sur les axes du syst`eme
sph´erique
φ
rucos θ
1
r
φ
θusin θ
1
rsin θ
φ
ϕ0
z
y
M
θ
~er
~eθ
~v
Il reste alors `a int´egrer, ce qui donne
φ r, θ, ϕ ur cos θ f θ, ϕ
φ r, θ, ϕ ur cos θ g r, ϕ
φ r, θ, ϕ h r, θ
et par identification entre ces trois expressions
φ r, θ, ϕ ur cos θ C
o`u l’on peut prendre la constante Carbitrairement nulle, donc
φ r, θ, ϕ ur cos θ
b. Il y a une sym´etrie de r´evolution autour de l’axe Oz (AD). Il y a donc en particulier une sym´etrie
par rapport au plan perpendiculaire `a la figure passant par Aet D.
Le fluide est incompressible, donc le d´ebit volumique est conserv´e. Si le d´ebit volumique est conserv´e
et que les lignes de courant se rapprochent, il faut que la vitesse augmente, puisque le section du tube de
courant est plus faible. On peut donc en d´eduire que la vitesse est plus grande que uau voisinage de B
et Cet plus faible au voisinage de Aet D.
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c. L’´ecoulement est irrotationnel et incompressible, donc
div ~v 0 et rot ~v 0
Par ailleurs, ~v gradφ, donc div gradφ0 , ce qu’on r´e´ecrit en introduisant le laplacien (formulaire !)
∆φ0
φv´erifie l’´equation de Poisson.
d. Le potentiel φdoit satisfaire au conditions de sym´etrie de l’´ecoulement (axe Oz), et donc ne doit pas
d´ependre de ϕ. Il doit aussi ˆetre une fonction paire de θpour respecter la sym´etrie par apport au plan
passant par Aet D. La forme propos´ee satisfait `a ces deux exigences.
Le potentiel doit aussi v´erifier l’´equation de Poisson (en coordonn´ees sph´eriques, voir formulaire)
∆φ1
r
2rφ
r2
1
r2sin θ
sin θφ
θ
θ
1
r2sin θ
2φ
ϕ20
ce qui donne, en injectant la forme propos´ee
1
rcos θ
2
r2αr2β r
1
r2sin θαr β r2
sin θcos θ
θ
θ0 0
En d´erivant, on obtient
1
rcos θ2α2β r3
1
r2sin θαr β r2
sin2θ
θ0
donc
cos θ2α
r
2β
r4
1
sin θ
α
r
β
r42 sin2θcos θcos θ2α r
2β
r4cos θ2α r
2β
r40
L’´equation de Poisson est donc bien v´erifi´ee par le potentiel φpropos´e.
Pour finir, φdoit satisfaire aux conditions aux limites :
– loin de la sph`ere, on doit trouver φ φ , soit quand r,
φ αr cos θ ur cos θ
ce qui permet d’identifier a u,
– au contact de la sph`ere, la composante normale de la vitesse (sur ~er) doit s’annuler. On exprime la
composante normale de la vitesse en utilisant le gradient en coordonn´ees sph´eriques
vr
φ
rcos θrur β r2cos θ u 2β r3
qui doit s’annuler pour tout θen r a, soit
vra, θ 0u2β
a30βa3u 2
On peut donc finalement exprimer le potentiel
φ r, θ r a3
2r2ucos θ
5