Fonctions circulaires

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FONCTIONS CIRCULAIRES
Cours Seconde
1. Le radian
1) Définitions
a) Définition 1
Définition 1 : On appelle cercle trigonométrique tout cercle dont le rayon est égal à l’unité de
longueur et sur lequel on a choisi un sens de rotation direct ou sens positif comme indiqué
sur la figure.
+
b) Définition 2
Définition 2 : Sur un cercle trigonométrique, un angle au centre de mesure 1 radian
intercepte un arc dont la longueur est égale à une unité de longueur.
Remarques :
• Le radian est une unité de mesure des angles dont l’abréviation est rad .
• Soit la longueur l d’un arc de cercle de rayon R qui intercepte un angle au centre de
mesure, en radians, θ ; alors l = R × θ. (faire un dessin).
2) Propriétés
a) Propriété 1
Propriété 1 : Sur un cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle au centre est
égale à la mesure, en unités de longueur, de l’arc qu’il intercepte.
1
O

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L’angle
AOB
a même mesure que l’arc
AB
.
Exemple : Soit un demi-cercle de rayon 1 unité. La longueur de ce demi-cercle vaut π × 1
unités de longueur. La mesure de l’angle au centre plat est donc π radians.
b) Propriété 2
Propriété 2 : La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.
Un angle au centre plat a pour mesure 180 degrés ou π radians.
Exemples :
• Convertir 24 degrés en radians. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on obtient :
24 degrés rad 0,42 rad
15
2≈
π
=
• Convertir
5
3
π
radians en degrés. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on
obtient : degrés 108 rad
5
3=
π
2. Sinus et cosinus
Le plan est muni d’un repère orthonormal
(
)
OJ,OI ; O .
On considère le cercle trigonométrique de centre O.
À tout nombre réel x, on peut associer un point N
unique d’un axe d’origine I représentant les nombres
réels.
On imagine que l’on enroule cet axe comme un fil
autour du cercle trigonométrique. On obtient ainsi
un point M unique du cercle trigonométrique.
Le nombre réel x est une mesure en radians de l’arc
d’origine I et d’extrémité M.
1) Définition
Définition 3 : Soit un nombre réel x et M le point du cercle trigonométrique associé par
l’enroulement de l’axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique.
- L’abscisse du point M s’appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos x .
- L’ordonnée du point M s’appelle le sinus du nombre réel x et se note sin x .

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Remarques :
• Le demi-axe représentant les nombres réels positifs
est enroulé autour du cercle trigonométrique dans le sens
direct. La mesure correspondante est un nombre réel positif.
Le demi-axe représentant les nombres réels négatifs est
enroulé dans le sens indirect.
La mesure correspondante est un nombre réel négatif.
• Tout cercle trigonométrique a pour longueur 2π,
par conséquent aux deux nombres réels x et x - 2π
est associé à un même point du cercle trigonométrique.
Ainsi aux nombres réels x - 4π, x - 2π, x + 2π, x + 4π, …,
est associé le même point du cercle trigonométrique.
Ces nombres ont donc le même sinus et le même cosinus.
• Lien avec la trigonométrie du triangle rectangle :
Soit
0 ;
2
x
π
∈ et M le point du cercle trigonométrique associé à x.
Dans le triangle rectangle OMH, on a :
(
)
OH
cos HOM
OM
= et
(
)
HM
sin HOM
OM
=.
Or OH = cos x, HM = OK = sin x et OM = 1.
Donc,
(
)
cos HOM cos
x
= et
(
)
sin HOM sin
x
=.
On en déduit que les deux définitions du cosinus et du sinus sont cohérentes.
A
B
M
H
K
O
x
A
B
M
H
K
O
2) Théorème
Théorème : Valeurs remarquables :
On lit le cosinus et le sinus du nombre réel x respectivement sur l’axe des abscisses et sur
l’axe des ordonnées.
Mesures en degrés
0 30 45 60 90 180
Mesures en radians
0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
sinus
0
2
1
2
2
2
3 1 0
cosinus
1
2
3
2
2
2
1 0 - 1

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3) Propriétés élémentaires
Propriété 3 : Pour tout x réel, -1 ≤ cos x ≤ 1 ; -1 ≤ sin x ≤ 1 et cos² x + sin² x = 1
Démonstration : Le cercle trigonométrique (C) a pour rayon 1, alors tout point de (C) a une
abscisse et une ordonnée comprise entre – 1 et 1.
De plus, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM, on obtient :
( ) ( )
2 2
2 2 2
OM OH HM cos sin
x x
= + = + .
Comme M appartient à (C), alors OM = 1. D’où,
( ) ( )
2 2
cos sin 1
x x
+ =
, que l’on écrit
également
2 2
cos sin 1
x x
+ =
.
Propriété 4 : Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.
Démonstration : D’après la 2ème remarque du 2. 1)
3. Fonctions trigonométriques
1) Fonction cosinus
Propriété 5 : La fonction cosinus est définie sur R et prend ses valeurs dans l’intervalle
[- 1 ; 1]. Elle est décroissante sur l’intervalle [0 ; π].
Sur [0 ; π], elle admet un maximum égal à 1, atteint en 0, et un minimum égal à – 1, atteint
en π.
Démonstration : Soit a et b deux réels quelconques de [0 ; π]. Si a ≤ b, alors cos a ≥ cos b.
O
M(a)
M(b)
cosacosb
x
O
M(a)
M(b)
cosacosb
Donc la fonction cosinus est décroissante sur [0 ; π].

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Tableau de variations :
Représentation graphique :
2) Fonction sinus
Propriété 6 : La fonction sinus est définie sur R et prend ses valeurs dans l’intervalle
[- 1 ; 1]. Elle est croissante sur l’intervalle
0 ;
2
π
et décroissante sur l’intervalle
;
2
π
π
.
Sur [0 ; π], elle admet un maximum égal à 1, atteint en
2
π
.
Démonstration : • Soit a et b deux réels quelconques de
π
2
; 0 . Si a ≤ b, alors sin a ≤ sin b.
M(a)
O
M(b)
sina
sinb
x
M(a)
O
M(b)
sina
sinb
Donc la fonction sinus est croissante sur 
π
2
; 0 .
x
0
2
π π
cos x
1
0
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