poly2010

Notes de cours
ANALYSE FONCTIONNELLE
Guillaume CARLIER
ENS, 2009-2010

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Table des mati`eres
1 Espaces vectoriels topologiques localement convexes 6
1.1 D´efinitions et propri´et´es premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Bornitude, continuit´e, suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Limites inductives et topologie de D(Ω)............. 23
1.5 Th´eor`emes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Introduction `a la th´eorie des distributions 38
2.1 Quelques r´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 D´efinitions et propri´et´es premi`eres des distributions . . . . . . 45
2.3 Convolution et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Solution fondamentale du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Espaces de Banach et topologies faibles 67
3.1 Topologiefaible.......................... 67
3.2 Topologie faible-∗......................... 71
3.3 Espacesr´eflexifs.......................... 72
3.4 Espaces s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Espaces uniform´ement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Op´erateurs lin´eaires, op´erateurs compacts 81
4.1 G´en´eralit´es ............................ 81
4.2 Cons´equences de la th´eorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Op´erateurs compacts, alternative de Fredholm . . . . . . . . . 84
4.4 D´ecomposition spectrale des op´erateurs compacts autoadjoints 89
5 Espaces Lp91
5.1 Rappels d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Propri´et´es ´el´ementaires des espaces Lp............. 93
5.3 Dualit´e, r´eflexivit´e, s´eparabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
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5.4 Compacit´e dans Lp........................105
5.5 Compacit´e faible dans L1.....................107
6 Espaces de mesures 110
6.1 Rappels sur les espaces de fonctions continues . . . . . . . . . 110
6.2 Th´eor`eme de Riesz et mesures de Radon dans le cas compact . 112
6.3 Mesures de Radon dans le cas localement compact . . . . . . . 121
6.4 Th´eor`eme de Radon-Nikodym, d´esint´egration des mesures . . 128
6.5 Dualit´e convexe et transport optimal . . . . . . . . . . . . . . 132
7 Espaces de Sobolev et EDP’s elliptiques lin´eaires 141
7.1 Cas de la dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 D´efinitions et propri´et´es premi`eres en dimension quelconque . 148
7.3 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4 Espace W1,p
0et traces de fonctions W1,p .............160
7.5 Formulation variationnelle de quelques pro- bl`emes aux limites 163
7.6 Principe du maximum et r´egularit´e elliptique . . . . . . . . . . 167
8 Calcul des variations et EDP’s elliptiques non-lin´eaires 174
8.1 M´ethode directe du calcul des variations . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Th´eor`emes de point-fixe et applications . . . . . . . . . . . . . 178
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