Fractions continues - IMJ-PRG
R´esum´e
L’algorithme d’Euclide pour calculer le pgcd (plus grand
commun diviseur) de deux entiers positifs est un des plus
anciens algorithmes math´ematiques : il remonte `a l’antiquit´e
grecque. Un algorithme qui lui est ´etroitement associ´e est celui
qui conduit au d´eveloppement en fraction continue d’un
nombre r´eel, c’est un proc´ed´e tr`es efficace pour trouver les
meilleures approximations rationnelles d’un nombre r´eel. Les
fractions continues sont omnipr´esentes, elles permettent de
fa¸con g´en´erale de r´esoudre des probl`emes concernant des
mouvements faisant intervenir deux p´eriodes diff´erentes. C’est
ainsi qu’elles apparaissent en th´eorie des nombres, en analyse
complexe, dans la th´eorie des syst`emes dynamiques, ainsi que
dans des questions li´ees `a la musique, aux calendriers, aux
engrenages. . . Nous mentionnerons certaines de ces
applications.
Quel est le lien entre les questions suivantes ?
Comment ´etablir un calendrier ?
Comment r´ealiser un plan´etarium ?
Comment inventer des gammes musicales ?
Comment trouver deux entiers x,ytels que
x2−61y2= 1?
Comment prouver l’irrationalit´e de constantes de l’analyse ?
R´eponse : les fractions continues.
Quel est le lien entre les questions suivantes ?
Comment ´etablir un calendrier ?
Comment r´ealiser un plan´etarium ?
Comment inventer des gammes musicales ?
Comment trouver deux entiers x,ytels que
x2−61y2= 1?
Comment prouver l’irrationalit´e de constantes de l’analyse ?
R´eponse : les fractions continues.
Combien y a-t-il de jours dans une ann´ee ?
Qu’est-ce qu’une ann´ee ? Ann´ee astronomique (Sid´erale,
tropicale, anomalistique. . .).
Une ann´ee est le temps mis par la terre pour effectuer une
r´evolution compl`ete dans sa rotation autour du soleil. Pour un
observateur sur la terre, cela correspond au temps n´ecessaire
pour que le soleil compl`ete un tour `a travers le zodiac le long
de l’´ecliptique.
Une ann´ee est environ 365,2422 jours.
Une premi`ere approximation est
365 + 1
4= 365,25
qui correspondrait `a avoir une ann´ee bissextile tous les 4ans.
C’est un petit peu trop.
Une meilleure approximation est
365 + 8
33 = 365,2424 . . .
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