Fonctions Circulaires : Cours Complet

BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 2008-2010
FONCTIONS CIRCULAIRES
Table des matières
I Fonctions circulaires 2
I.1 Définitions............................................... 2
I.2 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Variations et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Dérivation............................................... 3
II Fonctions circulaires réciproques 3
II.1 definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.2 Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.3 arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.4 arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III Fonctions eit et eat 6
IV Dérivée et primitive d’une fonction à valeurs complexes 6
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I Fonctions circulaires
I.1 Définitions
Définition 1
Soit xun réel, il lui correspond un unique point Msur le cercle trigonométrique tel que xsoit une mesure
en radians de l’angle (\
−→
i , −−→ OM ).
➤Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de Mdans le repère (O;−→ i;−→ j).
➤Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de Mdans le repère (O;−→ i;−→ j).
➤La tangente de x, notée tan x, est le rapport sin x
cos xpour x6=π 2+kπ.
cos xet sin xsont donc respectivement l’abs-
cisse et l’ordonnée du point Mdans le repère
(O;−→ i;−→ j)
On note : M
cos x
sin x
M
x
cos x
sin x
A
0
−→
j
−→
i
Propriété 1
♦cos2x+ sin2x= 1
♦−16cos x61 et −16sin x61
I.2 Valeurs remarquables
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
−π
7π
6
5π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
1
2√2
2
√3
2
0
−1
2
−√2
2
−√3
2
1
2
√2
2
√3
2
−1
2
−√2
2
−√3
2
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x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x01
2
√2
2
√3
21
cos x1√3
2
√2
2
1
20
tan x0√3
31√3∅
I.3 Variations et courbe représentative
La fonction sinus est impaire
et 2π−périodique.
x0π
2π
1
sin(x)ր ց
0 0
La fonction cosinus est paire
et 2π−périodique.
x0π
2π
1
cos(x) 0
−1
La fonction tangente est impaire
et π−périodique.
x0π
2
+∞
tan x
0
1
2
3
−1
−2
−3
−4
π
2
π
−π
2
−π
−2π−2π
I.4 Dérivation
Propriété 2
Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables sur R, la fonction tangente est définie et dérivable
sur tout intervalle ne contenant pas π
2+kπ, et on a :
♦cos′(x) = −sin(x).
♦sin′(x) = cos(x).
♦tan′(x) = 1
cos2(x)= 1 + tan2(x).
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II Fonctions circulaires réciproques
II.1 definitions
Considérons une fonction fdéfinie sur un intervalle Iet à valeurs dans Rqui à un réel xde Iassocie un
réel y. Nous voudrions savoir si nous pouvons définir une fonction « retour » qui permette, à partir de y, de
revenir à x.
Définition 2
Soient Iet Jdeux intervalles de Ret f:I→June fonction continue strictement monotone.
Il existe une unique fonction f−1:J→Itelle que pour tout x∈Iet pour tout x∈J:
f−1◦f(x) = f−1(f(x)) = xet f◦f−1(x) = f(f−1(x)) = x.
Cette fonction est appelée fonction réciproque de f.
Remarque 1
Graphiquement, la courbe de la fonction réciproque f−1d’une fonction fs’obtient en appliquant une symé-
trie d’axe la droite d’équation y=x.
C’est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle sur R, où encore pour les fonctions
carré et racine carrée sur [0; +∞[.
II.2 Fonction arc sinus
Définition 3
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle [−π
2;π 2]. Elle admet donc sur cet
intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1].
Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin−1.
π
2
−π
2
−π
2
π
2
y= sin x
y= arcsin x
y= arcsin xsignifie que yest le réel (l’arc)
compris entre −π
2et −π 2dont le sinus vaut x.
∀x∈[−1; 1],arcsin′x=1
√1−x2
Exemple 1
➔arcsin 1
2=π 6car sin π 6=1 2.
Démonstration de la dérivée :
Pour tout xde [−1; 1], on a sin(arcsin(x)) = x.
En dérivant les deux membres, on obtient :
arcsin(x)′×cos(arcsin(x)) = 1 d’où arcsin(x)′=1
cos(arcsin(x)).
Comme cos(arcsin(x)) = q1−sin2(arcsin(′x)) = √1−x2, on obtient le résultat cherché.
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II.3 arc cosinus
Définition 4
La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0; π]. Elle admet donc sur cet
intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1].
Cette fonction est appelée arc cosinus et notée arccos ou parfois cos−1.
π
−1
−1
π
1
1
y= cos x
y= arccos x
y= arccos xsignifie que yest le réel (l’arc)
compris entre 0 et πdont le cosinus vaut x.
∀x∈[−1; 1],arccos′x=−1
√1−x2
II.4 arc tangente
Définition 5
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]−π
2;π 2[. Elle admet donc sur
cet intervalle une fonction réciproque définie sur R.
Cette fonction est appelée arc tangente et noté arctan ou parfois tan−1.
123−1−2−3−4
1
2
−1
−2
−3
y= tan x
y= arctan x
y= arctan xsignifie que yest le réel (l’arc)
compris entre −π
2et π 2dont la tangente vaut x.
∀x∈R,arctan′x=1
1 + x2
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